河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期终质量评估数学（理）试题

2021 年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题(理) 注意事项： 1. 本试卷分第 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分． 考生做题时将答案答在答题 卡的指定位置上， 在本试卷上答题无效． 2. 答题前， 考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3. 选择题答案使用 铅笔填涂， 非选择题答案使用 毫米的黑色中性 (签字) 笔或碳 素笔书写， 字体工整， 笔迹清楚． 4. 请按照题号在各题的答题区域 (黑色线框) 内作答， 超出答题区域书写的答案无效． 5. 保持卷面清洁， 不折叠、不破损． 第 I 卷 选择题 (共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的) 1. 已知集合 ， 集合 ， 若 ， 则 A． 0 B． 1 C． 2 D． 6 2. 若 ， 则 A． B． C． D． 3. 已知函数 ， 则函数 的定义域是 A． B． ， 且 C． D． 4. 已知 ， 则 A． 最大值为 ， 最小值为 B． 最大值为 ， 最小值为 C． 最大值为 0 ， 最小值为 D． 最大值为 0 ， 最小值为 5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌： “甲乙丙丁戊己庚， 七人钱本不均平， 甲 乙念三七钱钞， 念六一钱戊己庚， 惟有丙丁钱无数， 要依等第数分明， 请问先生能算者， 细推 详算莫差争． ”题意是 “现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人， 他们手里钱不一样多， 依次成等差 数列， 已知甲、乙两人共 237 钱， 戊、己、庚三人共 261 钱， 求各人钱数． ”根据上题的已知条 件， 戊有 A． 107 钱 B． 102 钱 C． 101 钱 D． 94 钱 6. 已知三棱锥 ， 其余各棱长均为 为棱 的中点， 则三棱锥 的体积是 A． B． C． D． 7. 已知双曲线 为双曲线 上的一点， 若点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 1 ， 则双曲线的半焦距 的取值范围是 A． B． C． D． 8. A． B． C． D． 9. 年 8 月 17 日， 国家发改委印发的《2021 年上半年各地区能耗双控目标完成情况 晴雨表》显示， 青海、宁夏、广西、广东、福建、新疆、云南、陕西、江苏、浙江、安徽、四川等 12 个 地区能耗强度同比不降反升， 全国节能形势十分严峻． 某地市为响应节能 降耗措施， 决定对非繁华路段路灯在晩高峰期间实行部分关闭措施． 如 图， 某路段有十盙路灯 (路两边各有五盙)， 现欲在晩高峰期关闭其中的四 盙灯， 为保证照明的需求， 要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也 不能同时关闭， 则不同的关闭方案有 A． 15 种 B． 16 种 C． 17 种 D． 18 种 10. 已知函数 ， 则当 时， 函数 一定有 A． 极大值， 且极大值为 B． 极小值， 且极小值为 C． 极大值， 且极大值为 0 D． 极小值， 且极小值为 0 11. 已知 ， 则 A． B． C． D． 12. 设 ， 则 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分) 13. 已知 ， 若 ， 则向量 与 的夹角是________． 14. 设抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 为坐标原点， 则 的面 积为________． 15. 某空间几何体的三视图如图所示 (图中已标数据)， 则该 几何体的外接球表面积为________． 16. 已知函数 ， 若对任意 ， 恒 三、解答题 (本大题共 6 小题， 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 学校准备筹建数学建模学习中心， 为了了解学生数学建模 (应用) 能力， 专门对高二报名的 100 名学生进行了数学建模闭卷测试， 得分在 之间， 分为 五组， 得到如图所示的频率分布直方图， 其中第三组的频数为 40 ． (1) 请根据频率分布直方图估计样本的平均数 和方差 (同一组中的数据用该组区间的中 点值代表)； (2) 根据样本数据， 可认为参与建模测试的学生分数 近似服从正态分布 ， 其中 近 似为样本平均数 近似为样本方差 ． ①求 ； ②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中 分以上的同学进行表彰． 若某班正好有 6 人参与了这次测试， 求这 个班至少有 1 人获得表彰的概率． 参考数据： 若 ，