第14练 三角恒等变换-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第14练 三角恒等变换 【知识梳理】 1.两角和与差的三角函数公式 两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 两角差的余弦公式： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 两角和的正切公式：tan(α＋β)＝ 两角差的正切公式：tan(α－β) ＝ 2.二倍角公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 二倍角公式的变形 (1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos 2α＝2sin2α. (2) 降幂公式：cos2α＝. ； sin2α＝ (3) 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： 1)sin2α＝2sinαcosα＝. ，即sin2α＝＝ 2)cos2α＝cos2α－sin2α＝. ，即cos2α＝＝ 3.半角公式 sin ， ＝± cos ， ＝± tan . ＝＝＝± 4.辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 5.积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sin. cos sinα－sinβ＝2cos. sin cosα＋cosβ＝2cos. cos cosα－cosβ＝－2sin.sin 【易错点拨】 1.求角时忽视角的范围． 2.求值或求角时忽视角的范围． 3.公式中加减符号易记错． 4.半角公式符号的判断，实际问题中的定义域． 1．（2021·山西·吕梁学院附属高级中学高三期中（文））若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B. 2．（2021·河南许昌·高二期末（文））函数 的最小正周期和最小值分别是（ ） A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【解析】 ， 所以 的最小正周期为 ， 的最小值为 ， 故选：C. 3．（2021·江苏连云港·高一期末） 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ． 故选：B． 4．（2021·山东省实验中学高三期中）已知 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 由 得到： ， 所以 ， 即 . 故答案为： . 5．（2021·新疆·新和县实验中学高一期末）若方程 的两个根为 ， ，则 ___________. 【答案】 【解析】 因为方程 的两个根为 ， ， 所以 ， ， 所以 ， 故答案为： . 6．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（理））化简： _______ 【答案】 【解析】 根据两角差的正弦公式，可知 EMBED Equation.DSMT4 . 故答案为： 7．（2021·江西·南昌县莲塘第二中学高一期末）已知函数 ，则 ___________. 【答案】1010. 【解析】 解：∵ . ∴ ， ， ， . ∴ . 又 的周期为4. ∴ . 故答案为：1010. 8．（2021·安徽合肥·高一期末）已知 ， （1）求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）因为 ， 所以 ，即 . 因为 ，所以 ，所以 ， 故 . （2）因为 ，所以 ， 所以 . 9．（2021·黑龙江·鹤岗一中高一期末）已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求函数 的单调增区间； （3）求函数 在区间 上的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】 （1） EMBED Equation.DSMT4 所以 ． （2）由 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间是 . （3）由 得 ，所以 ， 所以 ． 10．（2021·云南·鹤庆县第一中学高一期末）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin