第13练 三角函数的图像与性质-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第13练 三角函数的图象与性质 【知识梳理】 1.正弦函数、余弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0)，，(π，0)， ，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)， ，(2π，1) 正(余)弦曲线 正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线 2.函数的周期性 1）函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期． 2）最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 4.正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数 余弦函数 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都单调递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－ x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x=kπ＋，k∈Z 对称中心：（kπ＋，0）（k∈Z） 对称轴：x=kπ，k∈Z 5.正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 对称性 对称中心(k∈Z) 【易错点拨】 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝. (1)周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期． (2)从等式“f(x＋T )＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．(3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期． (4)周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集． (5)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)． 2.单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围． 3.忽略函数的有界性与函数定义域. 1．（2021·山西英才学校高一阶段练习） ， ， 的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：因为 ， 函数 在 上递增， ， 所以 ，即 . 故选：B. 2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高一阶段练习）设函数 ，下列结论正确的是（ ） A． 的一个周期是 B． 的图象关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在 上单调递减 【答案】B 【解析】 解：因为 ，所以函数的最小正周期 ，故A错误； 当 时 ，所以函数 关于 对称，故B正确； 因为 ，所以当 时 ，故 不是 的零点，故C错误； 当 ，所以 ，因为函数 在 上不单调，所以 在 上不单调，故D错误； 故选：B 3．（2021·全国·高一课时练习）函数 ， 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故 ，故 ， 故选：B. 4．（2021·全国·高一单元测试）函数 的最小正周期是____ 【答案】1 【解析】 函数 的最小正周期 . 故答案为：1 5．（2021·全国·高一课时练习）若 ，则函数 的最大值是______． 【答案】 【解析】 ， 设 ，因为 ， 所以 ，即 ． 又函数 在 上单调递增， 故 ，所以 的最大值为 ． 故答案为： 6．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数 ，则 的对称中心为___________. 【答案】 【解析】 令 ，则 的对称中心为 . 故答案为： . 7．（2021·全国·高一课时练习）若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 因为 在 上单调递增， 所以 ，解得： ． 所以实数 的取值范围是 ， 故答案为： . 8．（2021·全国·高一课时练习）求