第12练 任意角与三角函数、诱导公式-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第12练 任意角与三角函数、诱导公式 【知识梳理】 1.任意角 1）角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2）角的分类： 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 2.象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 4.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 5.弧度数的计算 (1)正角：正角的弧度数是一个正数． (2)负角：负角的弧度数是一个负数． (3)零角：零角的弧度数是0. (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 6.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 7.任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值＝tan α(x≠0)叫做α的正切，记作tan α，即 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 8.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 9.同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 10. 诱导公式 公式一 (sin(α＋2kπ(＝sin α， cos(α＋2kπ(＝cos α， tan(α＋2kπ(＝tan α，其中k∈Z. 公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin（ - α)=sin α. - α)=cos α， cos（ 公式六 sin（ +α)=－sin α.+α)=cos α， cos（ ①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α,±α与α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”． ②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα. 【易错点拨】 1.混淆概念、以偏概全、弧度与角度混用． 2.锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 3.三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关. 4.求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论． 5.函数符号的变化，角与角之间的联系与构造． 1．（2021·江苏省镇江中学高一期末）下列选项中与角 终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 与 终边相同的角为 ， ，当 时， ， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求. 故选：C 2．（2021·江苏常州·高三期中）已知角 是 的内角，则“ ”是“ ”的（ ）