第10练 对数与对数函数-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第10练 对数与对数函数 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为ln_N(其中e＝2.71828…)． 2.对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①零和负数没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 3.对数运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 4.换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)． (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． 5.对数函数 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 6.对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝ 的图象关于x轴对称 7.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 8.三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 【易错点拨】 1.易忽视对数式中底数与真数的范围． 2.要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆． 3.作对数函数图象易忽视底数a>1与0<a<1两种情况． 4.易忽视对数函数底数有限制条件． 5.求对数型复合函数的单调性易忽视定义域． 1．（2021·福建省同安第一中学高一期中）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：已知 ， . 故选：C. 2．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 要使函数有意义，则 ，解得 ， 则函数的定义域为 . 故选：D． 3．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）函数 的图像与函数 的图像关于（ ） A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线 对称 【答案】B 【解析】 设点 为函数 的图象上任意一点，则 ， 函数 可化为 ， ，可得 ，化为 . 因为点 与点 关于x轴对称，所以函数 的图像与函数 的图像关于x轴对称. 故选：B. 4．（2021·陕西·西安市第七十五中学高一期中）已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ） A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞) 【答案】D 【解析】 的图象是由 的图象向左平移 个单位所得． 的图象过 点，函数为增函数，因此 ． 故选：D． 5．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（理））已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为 ， ， 所以 故选：B 6．（2021·陕西·咸阳市高新一中高一期中）函数 的单调减区间为_____