第07练 函数的性质-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第07练 函数的性质 【知识梳理】 1.函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增． 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减． 2.增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)． 3.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 4.函数的最大值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≤M； ②∃x0∈I，使得(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标． 5.函数的最小值 (1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①∀x∈I，都有f(x)≥M； ②∃x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值． (2) 几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标． 6.偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)． 7.偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 【知识拓展】 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝ 它的定义域为N，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝ 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即y＝f(x)和y＝f(x)＋b的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x＋1)2的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当k>0时单调区间与f(x)相同，当k<0时单调区间与f(x)相反． 8.最值问题需要注意： （1）并不是每一个函数都有最值，如函数y＝，既没有最大值，也没有最小值． （2）有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数y＝－x2(y＝x2)． （3）特别地，对于常函数f(x)＝C，它的最大值和最小值都是C. 9.奇偶性应关注以下几点： (1)奇偶性是函数的整体性