第06练 函数的概念与表示-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第06练 函数的概念与表示 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.区间 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 3.同一个函数 1）前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同． 2）结论：这两个函数为同一个函数． 4.常见函数的值域 1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 5.求函数的定义域 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0;④实际问题：若y＝f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)对于抽象函数的定义域： ①若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，从中解得x的解集即f[g(x)]的定义域． ②若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g(x)的范围，设u＝g(x)，则f[g(x)]＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域． ③已知f[φ(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域，先由f[φ(x)]中x的取值范围，求出φ(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围便可以求出f[h(x)]中x的取值范围． (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 6.求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． (3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 7.函数的表示法 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 函数三种表示法的优缺点比较 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示 列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 图象法 直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 8.分段函数 1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 9.求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 【易错点拨】 1.求函数定义域时非等价化简解析式导