第05练 二次函数与一元二次方程、不等式-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第05练 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 5.含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【易错点拨】 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准． 1．（2021·河北·石家庄市第六中学高一期中）不等式x2-x-2>0的解集为（ ） A．（-∞，-1） B．(2，+∞) C．(-1，2) D．（-∞，-1）∪(2，+∞) 【答案】D 【解析】 不等式x2-x-2>0化为 ， 解得 或 ， 所以原不等式的解集为 或 ， 故选：D 2．（2021·山东省莱西市第一中学高一阶段练习）不等式 的解集是 或 ，则 的值是（ ） A．14 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}， ∴一元二次方程2x2+mx+n＝0的两个根为3，﹣2． 由根与系数关系得 ， 解得：m＝﹣2，n＝﹣12． 所以 . 故选：D． 3．（2021·云南永善·高一阶段练习）已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵关于 的不等式 在 上恒成立， ∴ ， 解得： . 故选：B． 4．（2021·湖南长沙·高一期末）不等式 的解集是________． 【答案】 【解析】 由于 ， 所以不等式 的解集是 . 故答案为： 5．（2021·江苏省前黄高级中学高一期中）不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为_________. 【答案】 【解析】 因为不等式 的解集为 ， 所以 为方程 的两个根且 ，由韦达定理可得 ， 所以 ， 故 可化为 ， 解得 . 故答案为： . 6．（2021·江苏·南京师大附中高一阶段练习）求下列不等式的解集： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） 【解析】 （1）方法一（因式分解法）因为 ， 所以原不等式可化为 ，解得 ， 所以原不等式的解集为 ． 方法二（配方法）原不等式化为 ，因为 ， 所以原不等式可化为 ，即 ， 两边开平方，得 ，即 ，所以 ． 所以原不等式的解集为 ． （2）原不等式化为 ，因为 ， 所以原不等式可化为 ，即 ．两边开平方，得 , 即 或 ．所以 或 , 所以原不等式的解集为 ． （3）原不等式可化为 ，所以原不等式的解集为 ． （4）原不等式可化为 ，即 ，即 ，所以原不等式的解集为 ． 7．（2021·山东菏泽·高三期中）解关于 的不等式： . 【答案】答案见解析 【解析】 由 得 ， ∵ ， 当 ，即 时，不等式的解为 或 . 当 ，即 时，不等式的解为 或 ， 当 ，即 时，不等式的解 ， 所以当 时原不等式的解集为 ， 当 时原不等式的解集为 ， 当