第04练 等式性质与不等式性质、基本不等式-2022年【寒假分层作业】高一数学（人教A版2019选择性必修第一册）

第04练 等式性质与不等式性质、基本不等式 【知识梳理】 1.等式有下面的基本性质： 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么.＝ 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 3.基本不等式 1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立． ≤ 其中叫做正数a，b的几何平均数． 叫做正数a，b的算术平均数， 2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3）利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 【易错点拨】 1.注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性，不可误用． 2.忽略不等式性质成立的条件 3.一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误． ①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值； ③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到； 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 1．（2021·江西·宜春九中高一阶段练习）已知 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 故 ，当 时， . 故选：C. 2．（2021·江苏·高一期中）已知a<-1<b<0.则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：由题意得： 即 ，即 ； ，即 故综上所述： 故选：D 3．（2021·福建·华中师大惠安亮亮中学高一期中）函数 的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 解： ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值是6． 故选：C. 4．（2021·河北·石家庄市第六中学高一期中）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】 因为正实数a，b，满足2a+b=1， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以ab的最大值为 . 故选：C 5．（2021·河南·范县第一中学）给出下列命题： ①若 ， ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确命题的序号是____.（填上所有正确的序号） 【答案】② 【解析】 对于①，因 ， ，又 ，则当ab>0时，有 ，即 不成立，①不正确； 对于②，由 <0得： ，即0<-a<-b，于是得(-a)3<(-b)3，即-a3<-b3，则a3>b3，②正确； 对于③，当a=1，b=-2时，有 成立，而 不成立，③不正确； 对于④，因 ，即 ，则当c<0时，有 ，即a>b不成立，④不正确. 故答案为：② 6．（2021·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 因为 ，所以 ，又因为 ， 所以 ，即 ． 故答案为： ． 7．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 【答案】36 【解析】 f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0， ]上单调递减， 在( ，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ 时取得最小值， 由题意知 ＝3，∴a＝36. 故答案为： 8．（2021·江苏·南京市人民中学高一阶段练习）（1）试比较 与 的大小； （2）已知 ， ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由题意， ， 所以 ． （2）证明：因为 ，所以 ，即 ， 而 ，所以 ，则 ．得证． 9．（2021·全国·高一单元测试）已知 ， 都是正数.求证： EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4 【答案】 证明见解析； 证明见解析. 【解