第06讲 直线与圆的位置关系（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第6讲 直线与圆的位置关系(核心考点讲与练) 一、直线和圆位置关系的判定方法 方法一：方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组，利用判别式来讨论位置关系． ①，直线和圆相交； ②，直线和圆相切； ③，直线和圆相离． 方法二：几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较. ①，直线和圆相交； ②，直线和圆相切； ③，直线和圆相离． 二、圆的切线与弦长 (1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）； ②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程为，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求出k的值，一般有两解，若求出k的值只有一个，则另一条切线的斜率肯定不存在，该直线为x=x0； ③切线长：过圆（）外一点 所引圆的切线的长为（）；（点到圆心的距离的平方减半径的平方等于切线长的平方） （2）弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角 形来解：。 考点一：直线与圆的位置判定 例1．（2020·上海市进才中学高三阶段练习）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆的圆心到直线的距离， 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心. 故选：B 例2．（2020·上海市第二中学高二期末）直线和圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】化为圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆，消去参数，可得， 则圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为，可得， 又由圆心不适合直线方程， 所以直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 例3．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）“”是直线与圆相交的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解 【详解】当时，直线为，过圆心，故直线与圆相交， 当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，显然恒成立，不能推出， 所以“”是直线与圆相交的充分不必要条件， 故选：A 例4．（2018·上海长宁·高二期末）已知的方程，点是圆内一点，以为中点的弦所在的直线为，直线的方程为，则（ ） A．，且与圆相离 B．，且与圆相交 C．与重合，且与圆相离 D．，且与圆相交 【答案】A 【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离． 【详解】直线m是以P为中点的弦所在的直线 ∴直线m⊥PO， ∴m的斜率为﹣， ∵直线n的斜率为﹣， ∴n∥m 圆心到直线n的距离为 ∵P在圆内，∴a2+b2＜r2， ∴＞r，∴直线n与圆相离. 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判断直线与圆的位置关系常用的方法，(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系：①②③ 例5．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）设直线系M：xcosθ+ysinθ=1（0≤0≤2π），对于下列三个命题： ①M中所有直线均与一个圆相切； ②M中所有直线均经过一个定点； ③存在定点P不在M中的任一直线上. 其中真命题的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由题意知直线系M表示为圆的切线的集合，再逐个验证①②③即可. 【详解】因为，故直线系M表示为圆的切线的集合，①M中所有直线均与一个圆相切，正确； ②M中所有直线有相互平行的，所以不可能均经过一个定点，不正确；点在单位圆内时，该点 不在直线系M中的任意一条上，故③正确； 故选：B. 例6．（2022·上海·高三专题练习）若对于任意角，都有，则直线围成的正多边形的最小面积是（　　 ） A． B．4 C． D．不确定 【答案】D 【分析】先根据点到直线的距离为，确定直线为以为圆心，为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC即得选项. 【详解】解：由对于任意角，都有， 则点到直线的距离为， 即此直线为以为圆心，为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形的面积 ， 即存在直线围成的正多边形的面积为，即选项A,B,C错误， 故选D. 【点睛】本题考查了直线系方