第13讲 幂的乘方与积的乘方-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第13讲 幂的乘方与积的乘方 【学习目标】 1． 理解并掌握幂的乘方法则,积的乘方法则及其应用． 2．会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算． 3．会运用积的乘方的运算法则进行计算． 重点：掌握幂的乘方法则、掌握积的乘方法则及其应用． 难点：运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算；运用积的乘方的运算法则进行计算． 【基础知识】 知识点1.幂的乘方 1）定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如(a3)2指2个a³相乘. 2）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.用公式表示为:(am)n=amn（m,n都是正整数）. 【注意】（1）幂的乘方法则在推导过程中运用了乘方的意义和同底数幂的乘法法则. （2）运用此法则时要明白，底数a可以是一个单项式，也可以是一个多项式. （3）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，容易出现指数相乘与相加混淆的错误. （4）此性质可以逆用：amn=(am)n=(an)m. 知识点2.积的乘方 1） 积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方. 2）积的乘方的法则：(ab)n=anbn（n为正整数） 即∶积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 这个性质也适用于三个或三个以上因式的积的乘方. 【注意】 （1）公式中的n 可以是正整数，也可以是代表正整数的式子，a与b可以是数字，也可以是单项式或多项式，如：(ab)n+1 =an+1bn+1，[2(a+b)]m=2m(a+b)m. （2）注意积的乘方法则的结构∶左边是幂的形式，而幂的底数是 2个因数的积;右边是积，而积的因式是2个幂. （3）积中的每一个因数都应乘方，不能遗漏. （4）注意法则的准确应用，不能随便模仿，如(ab)2=a2b2是正确的，但(a+b)2=a2+b2是错误的. 2.此性质可以逆用，即 an·bn=(ab)n.在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，再去求积的同次幂.有时候，性质的逆向使用，会使一些数的计算简化.如 知识点3.幂的三种运算法则的异同 关于幂的三种运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方）法则的异同归纳如下∶ 比较 共同点 不同点 幂的三种运算法则 ①运算中的底数不变，只对指数进行计算. ②法则中的底数和指数具有普遍性，既可以是数，也可以是式，指数均为正整数. ③对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘，或幂（或积）的乘方等运算，法则仍然成立. ①同底数幂相乘是指数相加 ②幂的乘方是指数相乘 ③积的乘方是每个因式分别乘方 【考点剖析】 考点一：幂的乘方与积的乘方的法则 例1．下列运算正确的是（ ） A．a2(((a2(((a4 B．a3( (a3(((a9 C．(ab)2(((a2b2 D．(a2)3(((a5 【答案】C 【解析】 解：A．合并同类项，系数相加、字母及字母的指数保持不变，故a2＋a2＝2a2，所以此项错误； B．同底数幂相乘，底数不变指数相加，故a3•a3＝a6，所以此项错误； C．为正确选项； D．幂的乘方，底数不变指数相乘，故（a3）2＝a6，所以此项错误． 故选：C． 例2．计算： （1）[(-a)3]4； （2）(-m2)3·(-m3)2． （3）[(m-n)2]5(n-m)3 （4）(-x2)5+(-x5)2 【答案】（1）a12；（2）-m12；（3）（n-m）13；（4）0 【解析】 解：（1）[(-a)3]4 ； （2）(-m2)3·(-m3)2 ； （3）[(m-n)2]5(n-m)3 ； （4）(-x2)5+(-x5)2 . 例3．计算：（1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）原式 ； （2）原式 ． 考点二：幂的乘方与积的乘方的运算性质的逆用 例4． 等于（　　） A．-4 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】 解：原式 ， ， ， ， ， 故选：D． 例5．若 ，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 解：∵ ， ∴ ，即： ， ∴1+2m=9，解得：m=4， 故答案是：4． 例6．若 ，则 ________． 【答案】6 【解析】 解：2m•22•8=2m•22•23=2m+2+3， ∵2m•22•8=211， ∴m+2+3=11， 解得m=6． 故答案为6． 考点三：利用幂的乘方与积的乘方的运算性质求值 例7．已知 ， ，求 的值． 【答案】1600 【解析】 解：因为 ， ． 所以 ． 考点四：利用幂的运算法则比较大小 例8．阅读材料，解决问题． 材料一：比较 和 的大小． 解：因为 ，而 ，所以 ，即 ． 小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较 和 的大小． 解：因为 ，而 ，所以 ，即 ． 小结：在