第10讲 多边形的内角和与外角和-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第10讲 多边形内角和与外角和 【学习目标】 1.掌握三角形的内角和定理. 2.能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算. 3.了解多边形及其相关概念，理解正多边形及其概念. 4.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式. 5.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算. 重点：三角形的内角和定理；多边形、正多边形的定义及相关概念；多边形的内角和与外角和公式. 难点：三角形的内角和定理的推导过程；多边形的内角和公式的推导. 【基础知识】 知识点1.三角形角与角的关系： 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 知识点2.多边形的概念：在平面内，由不在同一条直线上的3条或3条以上的线段首尾依次相接组成的图形. 知识点3.多边形的内角和定理：设多边形的边数为n，则 n边形的内角和定理 ： （n－2）•180°（n≥3且为正整数） 知识延伸： （1）多边形每增加一条边，内角和增加180°； （2）多边形的内角和一定是180°的倍数； （3）多边形的边数越多，内角和越大． 正多边形的特点：所有边都相等，所有角都相等． 正多边形的内角和：(n－2)×180°． 正多边形每个内角的度数：(n－2)·180°÷n． 知识点4.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角． （指出：①“外角”是多边形的外角，不是它相邻内角的外角；在说法上称之为某个角是某个多边形的外角，而不是多边形某个角的外角；②多边形每个顶点处有两个外角，这两个外角是互为对顶角．） 知识点5.多边形的外角和定理： 多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和． 多边形外角和定理：多边形外角和等于360° 【考点剖析】 考点一：根据三角形的内角和求角度 例1．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠C的度数为（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】A 【解析】 解： ， ， ， 故选：A． 例2．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（ ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解析】 解： 三角形的内角和为： 解得： 故选B 考点二：判断三角形的形状 例3．已知 的两个内角 ， ，则 为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】 解：∵△ABC的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°−∠A−∠B＝80°， ∵∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°， ∴△ABC是锐角三角形， 故选：A． 考点三：求多边形的边数 例4．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】 解：设多边形的边数为n． 根据题意得：（n−2）×180°＝360°， 解得：n＝4． 故选：B． 例5．已知多边形的内角和为 ，则该多边形的边数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：设该多边形的边数为 则： ， 解得： ． 故选：D． 例6．n 边形的每个外角都为 15°，则边数 n 为（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【解析】 解：∵n边形的每个外角都为15°， ∴15°•n＝360°， ∴n＝24． 故选C． 例7．如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____ 【答案】6 【解析】 解：由题意得： （n-2）×180°=360°×2， 解得：n=6； 故答案为6． 例8．一个多边形剪去一个角后，所得新的多边形的内角和为2160度，则原来这个多边形的边数是_____． 【答案】 或 或 【解析】 解：设新多边形的边数为 ， 则 ， 解得： ， ①若截去一个角后边数增加 ，则原多边形边数为 ； ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为 ； ③若截去一个角后边数减少 ，则原多边形边数为 ； 故原多边形的边数为 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 考点四：求多边形内角和、外角和、不规则图形中多个角的度数和 例9．如图， 的度数为_______． 【答案】 【解析】 解：如图， ∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 故答案为： ． 例10．如图中x的值为 _____． 【答案】130 【解析】 解：因为五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°， 所以x+x+80+90+（x﹣20）＝540， 解得x＝130， 故答案为：130． 例11．一个