第07讲 探索平行线的性质-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第07讲 探索平行线的性质 【学习目标】 1.掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补，并能熟练运用. 2.掌握相关图形语言、文字语言、符号语言及其互换. 3.通过独立思考，小组合作，运用猜想、推理的方法，提升自己利用图形分析问题的能力. 重点：平行线的性质. 难点：根据平行线的性质进行推理. 【基础知识】 知识点1:平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 知识点2:平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等. 知识点3:平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 注意：(1)同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”. (2)要注意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两条直线平行得到角的数量关系是平行线的性质. (3)要特别注意没有两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补. 【考点剖析】 考点一：利用平行线的性质求角度 例1．如图，平行线 ， 被直线 所截．若 ，则 的度数为（　　） A．75° B．85° C．105° D．不确定 【答案】A 【解析】 解：由题意得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故选A． 例2．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为________． 【答案】120° 【解析】解：∵a∥b，∠1＝60°，∴∠3＝120°， ∴∠2＝∠3＝120°． 故答案为：120° 例3.如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1=∠BEF=68°，则∠EGF的度数为_______． 【答案】34° 【解析】 解： 平分 ， 又 故答案为 例4．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 【答案】D 【解析】解：如图，∵AB CD， ∴∠1＝∠3＝55°， ∵∠2+90°+∠3＝180°， ∴∠2＝35°， 故选：D． 例5．如图，已知 ， ， ， 平分 ，则 ______． 【答案】 【解析】 解：∵AB∥OE∥CD ∴∠1=∠BOE=70°，∠2=∠EOD=30° ∴∠BOD=∠EOD+∠EOB=100° ∵OG平分∠BOD ∴∠BOG= =50° ∴∠GOE=∠EOD-∠BOG=20° 故答案为：20°. 例6．如图，a∥b∥c，∠1＝60°，∠2＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAQ的度数． 【答案】12° 【解析】 ∵a∥b∥c， ∴∠BAQ＝∠1＝60°，∠CAQ＝∠2＝36°，∠BAC＝60°+36°＝96°， 又AP平分∠BAC，∠BAP＝ ×96°＝48°， ∴∠PAQ＝∠BAQ-∠BAP＝60°-48°＝12°． 考点二：利用平行线的性质说明角相等 例7．如图， 平分 ， 在 上， 在 上， 与 相交于点 ， ，试说明 ．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为 （已知）， （ ）． 所以 ________ 所以________（ ） 所以 ________（ ） 因为 平分 ． 所以 ________（ ） 所以________． 【答案】见解析． 【解析】 解：∵ （已知）， （对顶角相等）， ∴ ， ∴ （同旁内角互补，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ 平分 ， ∴ （角平分线的定义）， ∴ ． 考点三：利用平行线的性质进行推理说明 例8．如图，AD∥BE，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AB∥CD． 【答案】证明见解析． 【解析】 （两直线平行，内错角相等） 平分 又 ．（同位角相等，两直线平行） 例9．如图， 平分 ， 平分 ， ． （1）求证： 与 平行； （2）若 ， 与 存在什么样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）BE∥DF，理由见解析 【解析】 解：证明：（1）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC， 又∵∠AEB= ∠ABC， ∴∠CBE=∠AEB， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）； （2）BE∥DF． 理由如下： ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF＝ ∠ADC， 又∵∠AEB= ∠ABC，∠ABC=∠ADC， ∴∠AEB=∠ADF， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 例10．直线 和 被直线 所截，如图1， 平分 ， 平分 ，当 时，小明证明 的过程如下： ∵ 平