专题10 二次函数与几何图形的综合应用-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题10 二次函数与几何图形的综合应用 【典型例题】 1．（2021·山西新荣·九年级阶段练习）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式． （2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）设二次函数的表达式为，将点代入，可得的值，即可得出二次函数的表达式； （2）设，表示出，再根据，解出n即可得出点E的坐标； （3）由，可求得的函数表达式是． 设，则，可得，即可求出长度的最大值． 【详解】 （1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点、． 设二次函数的表达式为，将点代入， 即 解得 即 该二次函数的表达式为； （2）解：∵、． ∴，． ，． 设，则，且． ∵， ∴， 即．解得． 当时，，解得，． ∴二次函数位于x轴上方的图像上存在点P，使得． 点P的坐标为或． （3）解：设直线BC的表达式为y＝kx+n，由，可得 ∴，解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设，则． ∵． ∴当时，有最大值． 【点睛】 本题考查用待定系数法求二次函数以及一次函数表达式，分类讨论思想．解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 【专题训练】 1、 解答题 1．（2021·辽宁铁西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝　 　； （3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）；（3）（4，﹣8）． 【分析】 （1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，从而确定A点坐标，利用对称轴公式求得抛物线对称轴； （2）分别求得B点和C点坐标，求得直线OD的解析式，然后通过求解△OBD的面积求得平行四边形的面积； （3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B，点D及点C的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解． 【详解】 解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0， 解得：x1=0，x2=2， ∵抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A， ∴A点坐标为（2，0）， 抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为直线=1， 即A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1； （2）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD， ∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3， ∴B点坐标为（1，-3）， ∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是， ∴点D的纵坐标为=， ∴D点坐标为， 设直线OD的解析式为， 将D点坐标为代入，可得， 解得：， ∴直线OD的解析式为， 当x=1时，， ∴E点坐标为， ∴==， ∴S▱OBCD＝， 故答案为：； （3）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD， 设B点坐标为（1，-b），D点坐标为（a，﹣a2+2a）， ∵点D在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C在抛物线上，四边形OBCD为平行四边形， ∴OB=CD，OB∥CD， ∵将点O向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后得到点B， ∴将点D向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后可得到点C， ∴C点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b）， 将C点坐标代入到y＝﹣x2+2x中，可得： ﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b， 整理，可得：b=2a-1， 设直线OD的解析式为， 将D点坐标（a，﹣a2+2a），代入，可得， 解得：， ∴直线OD的解析式为， 当x=1时，， ∴E点坐标为， ∴ = = = =， ∵▱OBCD的面积是12， ∴， 解得：a1=-4（舍去）或a2=3， 当a=3时，b=2×3-1=5， 将a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中， ∴C点坐标为（4，﹣8）． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，理解二次函数图象上的点的特征，掌握平行四边形的性质，利用数形结合思想解题是关键． 2．（2021·吉林永吉·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，B，C两点的坐标分别为（3，0