第13讲 立体图形的直观图-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第13讲 立体图形的直观图 【学习目标】 1. 学会画水平放置的平面图形。 2. 学会直观图的有关知识。 【基础知识】 直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 【考点剖析】 考点一：立体图形的直观图 例1．下图是利用斜二测画法画出的 的直观图，已知 轴， ，且 的面积为16，过 作 ，垂足为点 ，则 的长为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】 由题可知，在 中， ， 因为 的面积为16， ， 所以 ， ， ， 因为 ， 轴于点 ， 所以 ， 故选：A. 【真题演练】 1. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 等腰梯形的面积 则原平面图形的面积 . 故选：C. 2. 正三角形 的边长为1，建立如图所示的直角坐标系 ，则它的直观图的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 原图中：设 是 的中点，则 ， . 直观图中： ， ， 所以 . 故选：D 3. 如图所示的是水平放置的三角形直观图， 是 中 边上的一点，且 离 比 离 近，又 轴∥ ，那么原 的 、 、 三条线段中（ ） A．最长的是 ，最短的是 B．最长的是 ，最短的是 C．最长的是 ，最短的是 D．最长的是 ，最短的是 【答案】C 【详解】 解：由题意，得到 的原图如下图所示， 其中， ， 所以 所以 的 、 、 三条线段中最长的是 ，最短的是 . 故选：C. 4. 用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为 ，则原图形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 底边长为 ，高为 的三角形的面积为 ， 在斜二测直观图中，若三角形的底边与 轴平行或重合， 则原三角形的斜二测直观图的面积为 ，则 ， 由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的 倍， 因此，原图形面积为 . 故选：A. 5. 已知水平放置的四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ， ， ， ，则原四边形 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 过点 作 ，垂足为 则由已知可得四边形 为矩形， 为等腰直角三角形 ， 根据直观图画出原图如下： 可得原图形为直角梯形， ， 且 ， 可得原四边形的面积为 故选：B. 6. 如图所示， 中， ，边AC上的高 ，则其水平放置的直观图的面积为______． 【答案】 . 【详解】 的面积为 ， 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系 . 故答案为: . 7. 如图所示， 表示水平放置的 的斜二测画法下的直观图， 在 轴上， 与 轴垂直，且 ，则 的边AB上的高为______． 【答案】 【详解】 过点 作 轴，交 ′轴于点 ，则 . ∵在 中， ，∴ . 所以△ABC的边AB上的高 . 故答案为: . 8. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为 ，两腰长均为1，则这个平面图形的面积为__________ 【答案】 【详解】 图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为 ，两腰长均为1， 直观图的面积 ， 则原图的面积 ， 故答案为： ． 【过关检测】 1. 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴， 故选：C. 2. 如图， 是水平放置的 的直观图， ， ，则 的面积是（ ） A．6 B．12 C． D． 【答案】B 【详解】 解：由直观图画法规则，可得 是一个直角三角形，其中直角边 ， ∴ ． 故选：B． 3. 若把一个高为 的圆柱的底面画在 平面上，则圆柱的高应画成（ ） A．平行于 轴且大小为 B．平行于 轴且大小为 C．与 轴成 且大小为 D．与 轴成 且大小为 【答案】A 【详解】 平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致． 故选：A 4. 如图所示，梯形 是一平面图形 的直观图．若 ， ， ， ．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【详解】 解：如图，建立直角坐标系 ，在 轴上截取 ，