第11讲 复数的四则运算-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第11讲 复数的四则运算 【学习目标】 1. 掌握复数集中的运算问题。 【基础知识】 一、复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：i(c＋di≠0). ＋＝＝＝ 二、复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 三、[熟记常用结论] 1.(1±i)2＝±2i， ＝i， ＝－i. 2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 3. ＝|z|2＝| |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|， ＝ ，|zn|＝|z|n. 4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量 ， 不共线，则复数z1＋z2是以 ， 为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数. 5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是 － ＝ 所对应的复数. 【考点剖析】 考点一：复数的加、减运算及其几何意义 例1． ______. 【答案】 【详解】 解： . 故答案为： . 考点二：复数的乘除运算 例2． 已知 为虚数单位，在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】 解： ， 所以该复数对应的点为 ，在第四象限. 故选：D 【真题演练】 1. ______. 【答案】10 【详解】 . 故答案为： . 2. 复数 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A. 3. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是 ，则 __________． 【答案】2 【详解】 由题意可知, . 所以 故答案为:2. 4. 已知 为复数，且 ，则 的最大值为____________. 【答案】 【详解】 由题意设 ，则 ， ，即 ， 即 的模的轨迹可理解为以 为圆心，半径为2的圆. 则 ，可理解为求点 到点 之间的距离， 数形结合可知， 的最大值为4． 故答案为： 5. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为 ，因此，复数 的虚部为 . 故选：A. 6. 已知 为虚数单位，复数 ，则 的模为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】 依题意， ，则 ， 所以 的模为 . 故选：D 7. 若 ．设 ，则 （ ） A．2i B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 由 ，得 ， 所以 . 故选：B 8. 设复数 ， 满足 ， ，则 的最大值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】 解：设 ， ，其中a，b，c，d都是实数， 所以 ①， ②. 又 ，所以 ， 所以 ③， ④. 由①+②-③×2，得 ，所以 ， . 所以 ，由①知 ，故 . 故选：B. 【过关检测】 1. 已知向量 对应的复数为 ，若点 对应的复数为 ，求点 对应的复数． 【答案】 【详解】 设点 对应的复数为 ， 则向量 对应的复数为 ， 所以 ，解得 ， 因此，点 对应的复数为 . 2. 已知复数 在复平面内所对应的点为A （1）若复数 为纯虚数，求实数 的值； （2）若点A在第二象限，求实数 的取值范围 【答案】 （1）由题意得 ， 因为 为纯虚数， 所以 ，解得 . （2）复数z在平面内所对应的点为 ， 因为点A在第二象限， 所以 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围为 3. 若 ， 为复数，则“ 是实数”是“ ， 互为共轭复数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 由题意，不妨设 若 是实数，则 故 ，即 ，由于 不一定相等，故 ， 不一定互为共轭复数，故充分性不成立； 若 ， 互为共轭复数，则 ，故 ，故必要性成立. 因此“ 是实数”是“ ， 互为共轭复数”的必要不充分条件. 故选：B 4. 如图所示，已知复数 ， 所对应的向量 ， ，它们的和为向量 ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 【答案】 【详解】 ， 5. 对应的两个复数相加的运算过程： 根据复数加法的几何意义，证明