第10讲 复数的概念-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第10讲 复数的概念 【学习目标】 1. 了解从实数系到复数系的扩充过程和方法。 2. 研究复数的表示、运算及其几何意义。 【基础知识】 一、复数的有关概念 1、复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部. 2、复数的分类：z＝a＋bi 注意： (1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义. (2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (3)两个不全为实数的复数不能比较大小. 3、复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R). 4、共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R). 5、复数的模： 向量.的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ 二、复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 【考点剖析】 考点一：数系的扩充和复数的概念 例1． 若复数 为纯虚数，则 （ ） A． B．13 C．10 D． 【答案】A 【详解】 复数 为纯虚数，故需要 故选：A 考点二：复数的几何意义 例2． 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由题知， ，则 ，所以 ， 故选：D． 【真题演练】 1. 若 （ ）为实数， （ ）是纯虚数，则复数 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意 ， ， ， ， 所以 ． 故选：C． 2. 已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ， ， ， ， ， 故选：AD. 3. 已知 是虚数单位，若 ，则 的值为______. 【答案】0 【详解】 因为 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， . 故答案为: 4. 设复数 ，当 取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线 上． 【答案】 （1）由 为纯虚数，则 该组条件无解，所以复数 不可能为纯虚数； （2）由表示 的点位于第三象限，则 解得 ； （3）由表示 的点在直线 上，则 ，解得 ． 5. 在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则 （ ） A．﹣1 B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】 由已知复数z对应的点为（1，1），则 , 因此 ,所以 故选：B. 6. 在复平面内，若复数 对应的点的坐标为 ，则实数 （ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 复数 对应的点的坐标为 由题干得到 故选：D. 7. 已知复数z满足 ，且z的共轭复数为 ，则 （ ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ． 故选：B. 8. 若复数 为纯虚数，则 的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知： 且 ， ∴ ，即 ，故 的共轭复数是 . 故选：A. 【过关检测】 1. 以下命题中，正确的是（ ） A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数 B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应 D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应 【答案】D 【详解】 A： ，当 时, 不是纯虚数，故A错误； B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误； C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误； D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确. 故选：D. 2. 已知复数z满足实部为 ，虚部为 ，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是______． 【答案】 【详解】 由题可得 ， ∴复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为 . 故答案为： . 3. 复数 ，当m取何实数时： （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z对应的点在复平面上实轴的上半部分． 【答案】 （1）因为z为实数，所以 ，解得 或 （2）由z为纯虚数，则 解得 （3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则 ，解得 或 4. 已知z为复数， 和 均为实数，其中i是虚数单位． （1）求复数 ； （2）若复数 对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】 （1）设 ，则 ， ， 因为 和 均为实数，所以 ，解得 ， 所以 ，则 ； （2） ， 因为 对应的点在第四象限，所以 ，解得