第09讲 平面向量的应用-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第09讲 平面向量的应用 【学习目标】 1. 学会运用向量方法解决平面几何和物理中的问题。 2. 把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。 【基础知识】 1、 平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、 余弦定理 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 余弦定理可以变形：cosA＝.，cosC＝，cosB＝ 3、 正弦定理 1. 正弦定理：＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．＝＝ 由正弦定理可以变形： (1) a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (2) a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (3) sin A＝等形式，以解决不同的三角形问题．，sin C＝，sin B＝ 2. S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. ＝acsinB＝bcsinA＝absinC＝ 3. 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 4. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 注意： 1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大， 即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 【考点剖析】 考点一：平面几何中的向量方法 例1．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是 的外心、垂心，且M为BC中点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：设重心为G， 因为三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半． 所以 ， ， ， ， 又M为BC中点，重心为G， ， 所以 ， 故选    考点二：向量在物理中的应用 例2．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东 则船实际航行的速度大小为 A.   B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：如图， 表示船速， 表示水流速度，则 表示船实际航行的速度， 又 ， ， ， ， 即船实际航行的速度大小为 ， 故选    考点三：余弦定理、正弦定理 例3． 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， 的面积为 ，且 ，则b的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：由已知可得： ，解得： ， 又 ，由正弦定理可得： ， 由余弦定理： ， 解得： ， 故选 【真题演练】 1. 在 中，向量 与 满足 ，且 ，则 为 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 解：因为 ， 所以 的平分线与BC垂直， 所以三角形ABC是等腰三角形，且 又因为 ， 所以 ， 所以三角形ABC是等腰直角三角形． 故选 2. 点O在 所在的平面内，则以下说法正确的有 A. 若 ，则点O为 的重心 B. 若 ，则点O为 的垂心 C. 若 ，则点O为 的外心 D. 若 ，则点O为 的内心 【答案】AC 【解析】 解：对于 由于 ，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点 靠近线段 ，所以O为 的重心，故A正确. 对于B，向量 ， 分别表示在AC和AB上取单位向量 和 ， 是向量 ，当 ，即 时，则点O在 的平分线上，同理由 ，知点O在 的平分线上，故O为 的内心，故B错误； 对于C， 是以 ， 为边的平行四边形的一条对角线，