第08讲 平面向量基本定理及坐标表示-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第08讲 平面向量基本定理及坐标表示 【学习目标】 1. 掌握平面向量基本定理。 2. 学会用平面向量的坐标表示，体会其几何意义。 【基础知识】 1、 平面向量基本定理 定义：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2、 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj. ＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标．记作a＝(x，y)． (2)设＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O为坐标原点) 的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝xi＋yj，则向量 3、 平面向量坐标运算 1. 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. 注意：向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则. |＝＝(x2－x1，y2－y1)，| 2. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线． 3. 平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝； (3)cos〈a，b〉＝； (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意： （1）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，(平面内两点间的距离公式)． ＝a，则|a|＝ （2）直线l的方向向量 给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量． 【考点剖析】 考点一：平面向量基本定理 例1．已知D，E是 边BC的三等分点，点P在线段DE上，若 ，则xy的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解： 由题意知P，B，C三点共线， 则存在实数 使 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ， 所以 ，即 且 因此 ， 所以当 时，xy取得最大值 ； 当 或 时，xy取得最小值 ， 所以xy的取值范围为 故选 考点二：平面向量正交分解及坐标表示 例2．与向量 平行的单位向量是 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 解： 与向量 平行的单位向量为 故选： 考点三：平面向量加减运算的坐标表示 例3． 在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是 A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 解：根据 ， 选项A： ，则 ， ，无解，故选项A不能； 选项B： ，则 ， ，解得， ， ，故选项B能； 选项C： ，则 ， ，无解，故选项C不能； 选项D： ，则 ， ，解得， ， ，故选项D能． 故选    考点四：平面向量数乘运算的坐标表示 例4．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 解： 向量 ， ， ， ， ， ， 解得 故选：    考点五：平面向量数量积的坐标表示 例5．已知向量 ， ， ，若 ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：向量 ， ， ， ， 所以 ， 则 ， 则当 时， 的最小值为 ， 故选 【真题演练】 1. 如图所示，平面内有三个向量 ， ， ， 与 夹角为 ， 与 夹角为 ，且 ， ，若 ，则 A. 1 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 解：如图所示，建立直角坐标系： ， ， ， ，解得 ， 故选 2. 已知点 ， ，向量 ，则向量 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设 ， ， ， 又 ，得 ， ， ， 故选 3. 如果用 ， 分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且 ， ，则 可以表示为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：记O为坐标原点，则 ， ， 所以 故选    4. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是 A. B. 与 可以作为一组基底 C. D. EMBED Equation.DSMT4 与 方向相反 【答案】ACD 【解析】 解：由向量 ， ， 知 ， 所以 ，故A正确，B错误； 又 ， 所以C正确； 又 ，