专题05 相似三角形中的动点问题-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题05 相似三角形中的动点问题 【典型例题】 1．（2021·山东胶州·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm．动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题： （1）当CE⊥AB时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）设四边形AEFC的面积为ycm2，求y与t之间的关系式． 【答案】（1）t= （2）存在，，详解见解析 （3） 【分析】 （1）根据三角形面积相等求出CE的长，再由勾股定理求出AE的长，即可得答案； （2）由勾股定理先求出ED和AD的长，在根据ED=AD-AE，解出的值即可； （3）过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出△BEG∽△BAC，求出EG，再由四边形面积得出y与x的关系式． 【详解】 解：（1）当CE⊥AB时，可知∠AEC=90°， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴△ABC的面积=×3×4=6，△ABC的面积=×5×CE， ∴×5×CE=6， ∴CE=， 在Rt△ACE中，AE=； 即t= ； （2）过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意可知AE=t，BF=t， ∵BC=4， ∴CF=4-t， ∵CE≥CD，即4-t≥， ∴t≤， ∴此时点E还未到D点， 由（1）可知CD=， 在Rt△CDE中，ED= ， 在Rt△ACD中，AD= ， ED=AD-AE=， ， 两边同时平方，得： ， 整理得： ， ， ； （3）过点E作EG⊥BC，垂足为G， 由图可知：四边形AEFC的面积=△ABC的面积－△BEF的面积， ∵AC⊥BC，EG⊥BC， ∴EG AC， ∴△BEG∽△BAC ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴四边形AEFC的面积= ， 设四边形AEFC的面积为y， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了动点问题，勾股定理，解一元一次方程，三角形相似等知识点，做题的关键是由勾股定理求出相关线段的长，能由三角形的相似求出EG得长． 【专题训练】 1、 填空题 1．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级阶段练习）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似． 【答案】2或8 【分析】 可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出BQ的长． 【详解】 当时， 则， ，点P时AB边的中点， , , , 当时， 则， ，点P时AB边的中点， , ， ， 故答案为：2或8． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键． 2．（2021·江苏·沛县第五中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过________秒后，△PBQ与△ABC相似． 【答案】3或 【分析】 设x秒后△PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP=2x，PB=12-2x，BQ=4x， ∵∠PBQ=∠ABC， ∴当时，△BPQ∽△BAC， 即， 解得x=3（s）； 当时，△PBQ∽△CBA， 即， 解得x=（s）． 即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：3或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质．分类讨论是解题的关键． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____． 【答案】 【分析】 通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解． 【详解】 解：如图， ∵BP＝5，BC＝4， ∴CP＝1， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°＝∠ABC， ∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ， ∴∠BAP＝∠BPQ， 又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴ ∴CQ＝ ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法． 4．（2021·四川省成都市石室联