专题04 利用一元二次方程的解决增长率、传播、销售、图形、动点问题-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题04 利用一元二次方程的解决增长率、传播、销售、图形、动点问题 【典型例题】 1．（2021·山东李沧·九年级期中）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门（用其他材料做，不用篱笆围）． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边BC的长为 　 　米； （2）当矩形场地面积为160平方米时，求AB的长． 【答案】（1）（36﹣2x）；（2）10米． 【分析】 （1）设AB＝x米，则CD＝AB＝x米，利用BC的长＝篱笆的长+门的宽﹣2AB，即可用含x的代数式表示出BC的长； （2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18米，即可确定AB的长． 【详解】 解：（1）设AB＝x米，则CD＝AB＝x米， ∴BC＝34+2﹣2AB＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米． 故答案为：（36﹣2x）． （2）依题意得：x（36﹣2x）＝160， 化简得：x2﹣18x+80＝0， 解得：x1＝8，x2＝10． 当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8＝20＞18，不合题意，舍去； 当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意． 答：AB的长为10米． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 2．（2021·河南南召·九年级期中）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率； （2）若农产品每袋成本价25元，原售价为每袋40元，该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）八、九这两个月的月平均增长率为25%；（2）当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店10月份获利4250元 【分析】 （1）由题意列出相关的方程，然后求解即可； （2）由单位利润×总数量=总利润，列出相关方程计算即可． 【详解】 解：（1）设八、九这两个月的月平均增长率为x． 由题意得：256（1+x）2＝400 即：或 解得：x1＝，x2＝－（不合题意，舍去） 答：八、九这两个月的月平均增长率为25%． （2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元． 根据题意可得：（40－25－m）（400+5m）＝4250 即：或 解得：m1＝5，m2＝－70（不合题意，舍去） 答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店10月份获利4250元． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解题的关键． 【专题训练】 1、 解答题 1．（2021·陕西洋县·九年级期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： （1）当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利多少元？此时能销售多少箱？ （2）在每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ （3）每天销售饮料获利能达到15000元吗？若能，求出此时应降价多少元；若不能，说明理由． 【答案】(1) 14000元，此时能销售140箱；(2) 每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元；(3) 每天销售饮料获利不能达到15000元． 【分析】 （1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数=销售总利润，由此列出算式后代入20即可求解； （2）利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答； （3）利用根的判别式即可求解． 【详解】 解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120-x）（100+2x）， 当x=20时，（120-x）（100+2x）=100×140=14000元，此时能销售140箱； （2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得， （120-x）（100+2x）=14400， 整理得x2-70x+1200=0， 解得x1=30，x2=40； ∵要求每箱饮料获利大于80元， ∴x=30， 答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元； （3）（120-x）（100+2x）=15000， 整理得x2-70x+1500=0， ∴b2-4ac=4900-6000=-1100＜0， ∴方程无解， 答：每天销售饮料获利不能