专题03 一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题03 一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系 【典型例题】 1．（2021·辽宁台安·九年级期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）；（2）或 【分析】 （1）根据配方法即可求出答案． （2）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】 解：（1）， ， ， ． （2）， ， ， 或 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2．（2021·河南伊川·九年级期中）关于x的一元二次方程． （1）当方程有一个根为时，求k的值及另一个根； （2）当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围； （3）若方程有两个实数根且满足，求k的值． 【答案】（1）k的值为1，另一个根为﹣2；（2），（3）1 【分析】 （1）把x＝﹣1代入方程得到关于k的方程，解方程求得k的值，从而得到原方程为：x2+3x+2＝0，根据根与系数的关系即可求得另一个根． （2）根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1），然后根据根的情况列出不等式，解不等式即可得到k的取值范围； （3）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1•x2＝k2+1，利用完全平方公式，由x21+x22＝5得到（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（k2+1）＝5，整理得k2+2k﹣3＝0，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】 解：（1）把x＝﹣1代入一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0得：（﹣1）2﹣（2k+1）+k2+1＝0， 整理得：k2﹣2k+1＝0， 解得：k＝1， 即原方程为：x2+3x+2＝0， ∴x1•x2＝2， ∵x1＝﹣1， ∴x2＝﹣2， 即k的值为1，另一个根为﹣2； （2）根据题意得：Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0， 解得：， 即k的取值范围为． （3）根据题意得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1•x2＝k2+1， ∵x21+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2k﹣1）2﹣2（k2+1）＝5， 整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1， 由（2）可知，方程有两个实数根时，k≥， ∴k＝1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式和解一元二次方程，解题关键是明确一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确的解方程． 【专题训练】 1、 选择题 1．（2021·辽宁台安·九年级期中）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．0 【答案】B 【分析】 直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式，进而得出答案． 【详解】 解：∵关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程 ∴ 解得 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念，注意未知数的最高次数是2是解题的关键． 2．（2021·江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，那么x1+x2﹣x1x2＝(　　) A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 【答案】D 【分析】 先利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2=3，x1x2=-1， ∴x1+x2-x1x2=3-（-1）=4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 3．（2021·湖北·武汉市洪山区杨春湖实验学校九年级阶段练习）已知m是一元二次方程 的一个根，则 2022-m2+m的值为（ ） A．2019 B．2020 C．2023 D．2025 【答案】A 【分析】 根据方程根的含义，可得，代入代数式求解即可． 【详解】 解：由题意可得：，即， 代入代数式得，， 故选：A 【点睛】 本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的含义是解题的关键． 4．（2021·甘肃·古浪县第六中学九年级阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞