第07讲 平面向量的运算-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第07讲 平面向量的运算 【学习目标】 1. 掌握平面向量的运算和探索其运算性质。 2. 体会平面向量运算的作用。 【基础知识】 1、 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 2、 向量的数乘运算及其几何意义 1. 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. 2. 向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 3、 向量的数量积 1. 两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b(如图)，作＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b. ＝a， (2)规定：零向量可与任一向量垂直． 2. 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3. 向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4. 向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝； (4)cos θ＝； (5)|a·b|≤|a||b|. 5. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【考点剖析】 考点一：向量的加法运算 例1． 在 中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则 等于    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解： ，E，F分别为AB，BC，AC的中点， 且 ， ， . 故选 考点二：向量的减法运算 例2．若O是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 解： ， ， ，即 ， ， 由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形， ，得 的形状是直角三角形． 故选：D 考点三：向量的数乘运算 例3． 已知向量 ， ， ，则 A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线 【答案】B 【解析】 解： ， ， 共线，且有公共点B， ，B，D三点共线． 故选    考点四：向量的数量积 例4．若 ， 且 ，则 与 的夹角是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：由 ，得 ， 即 ， 所以 ， 因为 ， 所以 与  的夹角是 ， 故选     【真题演练】 1. 在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足 ，则 等于 A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 解：由 ， 可得 ， 即 ， 可得点P是直角三角形斜边BC的中点，因为 ， 所以 ， 故选 2. 在矩形ABCD中， ， ，则向量 的长度为 A. B. C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 解：因为 ， 所以 的长度为 的模的2倍． 又 ， 所以向量 的长度为 故选 3. 下列各式不能化简为 的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：A项中，原式 B项中，原式 C项中，原式 D项中，原式 故选 4. 如图，在四边形ABCD中，设 ， ， ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解： 故选 5. 已知 ， 是两个不共线的向量， ， ， ，若A，B，D三点共线，则实数 __________. 【答案】 【解析】 解： ， ， 又 ，且A，B，D三点共线， 一定存在实数 ，使 ， ， 故答案为 6. 化简下列各式． ； 【答案】解： 7. 设点 不