第05讲 三角函数-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第一册）

第05讲 三角函数 【学习目标】 1. 了解三角函数的定义和特性。 2. 利用三角函数模型刻画各种周期性的变化现象。 【基础知识】 1、 任意角和弧度制 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝ (弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝ ° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝ lr＝ |α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sinα 叫做α的余弦，记作cosα 叫做α的正切，记作tanα 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全（Q），Ⅱ正弦（s），Ⅲ正切（t），Ⅳ余弦(c) 2、 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系： ＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3.常用结论 （1）同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα. （2）诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化. （3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 3、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)， ，(π，0)， ，(2π，0). (2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)， ，(π，－1)， ，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋ } 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 注意： 1. 、的最小正周期都是2； 和的最小正周期都是。 2. 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点)。 3. 上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。特别提醒，别忘了！ 4、 三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ. tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan2α＝. 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (2)cos2α＝. ，sin2α＝ (3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2， 函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝.sin(α＋φ)，其中tan φ＝ 例： 5、 函数 1. 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定。 2. 函数图象的画法： ①“五点