第04讲 指数函数与对数函数-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第一册）

第04讲 一元二次函数、方程和不等式 【学习目标】 1. 类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。 2. 通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。 【基础知识】 1、 指数与指数函数 1.根式 (1)概念：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：( )n＝a(a使 有意义)；当n为奇数时， ＝a，当n为偶数时， ＝|a|＝ 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 4.常用结论 （1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， . （2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 2、 对数与对数函数 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝ logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 5.常用结论 ①.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝ ；(2)logambn＝ logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. ②.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. ③.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， ，函数图象只在第一、四象限. 3、 函数的应用（二） 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 3．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c