第03讲 函数的概念与性质-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第一册）

第03讲 一元二次函数、方程和不等式 【学习目标】 1. 学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。 2. 通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识。 3. 学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。 【基础知识】 1、 函数的概念及其表示 1.函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域． (3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域. 值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交. 4．常用结论 (1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R； (2)若f(x)为分式，则要求分母不为0； (3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0； (4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义． 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)． 2、 函数的基本性质 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 4.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 注意： （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （4）函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 5.对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ③