第02讲 一元二次函数、方程和不等式-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第一册）

第02讲 一元二次函数、方程和不等式 【学习目标】 1．梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。 2．体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。 【基础知识】 1、 等式性质与不等式的性质 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2). 2、 基本不等式 1.基本不等式： ≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 (简记：和定积最大). 注意： 1. ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤ ≤ . 3. (a>0，b>0). 3、 二次函数与一元二次方程 1.二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－ ，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在 上是减函数； 在 上是增函数 在 上是增函数； 在 上是减函数 常用结论： ①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 时恒有f(x)>0，当 时，恒有f(x)<0. 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则 ； (b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔ . 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 【考点剖析】 考点一：等式性质与不等式性质 例1．已知，则下列结论正确的是    A. B. C. D. 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查不等关系与不等式，属于基础题． 求解本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，能够根据这些基本性质作出正确判断． 【解答】 解：对于：当时，根式无意义，选项错误； 对于：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确； 对于：，当时，不成立； 对于：当，时，，但不成立． 故选：． 考点二：基本不等式 例2． 实数a，b满足 ， 且 ，则 的最小值是 A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 解： ， ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立. 故选： 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 例3．设 ，若关于x的不等式 在 上有解，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：由题意得：二次函数 的图象开口向上， 当 ，满足题意， 当 ，解得 或 ， 当 ，满足题意， 综上所述： 故选   【真题演练】 1