第01讲 集合与常用逻辑用语-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合与常用逻辑用语 【学习目标】 1．正确掌握使用集合的语言来刻画一类事物的方法。 2．理解使用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理的方法。 【基础知识】 1、 集合的概念 1.集合的概念 1) 元素：把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母a、b、c表示. 2) 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，或简称集，用大写字母A、B、C表示. 3) 集合中元素的特征： 确定性 一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系 4) 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等。考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法。 2. 元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记做； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记做. 熟记数学中一些常用的数集及其记法 符号 名称 含义 N 非负数集或自然数集 全体非负整数组成的集合 N*或 正整数集 所有正整数组成的集合 Z 整数集 全体整数组成的集合 Q 有理数集 全体有理数组成的集合 R 实数集 全体实数组成的集合 注意：当元素属于集合时，应该进行分类讨论求出参数，参数代入验证集合中的元素是否满足元素的三个特征。 3. 集合的分类与表示 集合的分类： （1）按元素的数量分为有限集、无限集、空集； （2）按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 表示方法： （1）自然语言描述法. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “｛ ｝”括起来表示集合的方法叫做列举法。 （3）描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为｛x∈A｜P(x)｝，这种表示集合的方法称为描述法． 二、集合间的基本关系 1. 子集和真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意 Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 可以用图表示为： 真子集：如果集合,但存在元素B，且xA，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或). 2. 空集 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有 集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 3. 子集的个数 若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个； 三、集合的基本运算 1. 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}; Venn图表示: 2. 交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}； 交集的Venn图表示： 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：即； 补集的Venn图表示： 四、充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2. 充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q p，则