第08练 函数应用-2022年【寒假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第一册）

第08练 函数应用 1.确定函数零点所在区间 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点； (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。 2.确定函数零点的个数 (1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点的存在性：根据函数零点存在定理再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：对于y=f(x)-g(x)型的函数，可先画出两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象，看其交点的个数，有几个交点，原函数就有几个零点。 3.根据函数零点的情况求参数 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围. (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题再加以解决. (3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 4.建立函数模型解决实际问题 (1)待定系数法.已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数（未知系数）的值，进而确定函数的解析式. (2)归纳法.先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式. (3)方程法.用x表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法. 5.图表型实际问题 解决图表型实际应用问题的步骤： 第1步：观察图表，捕捉有效信息 第2步：对已有信息进行加工，分清变量之间的关系. 第3步：选择恰当的数学工具，有时通过建模加以解决. 第4步：进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形. 6.二次函数模型的应用 (1)在函数建模中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题确定函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题. (2)利用二次函数求最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 7.分段函数模型的应用 (1)分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数解析式.需注意分段函数的最值，是各区间上解析式取得的最大值或最小值. (2)要注意结合实际问题的实际意义，有时还可以结合图象去求解. 8.“对勾”函数模型的应用 解决“对勾”函数 的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在 上单调递减，在 上单调递增、值域和图象等。一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值。 一、单选题 1．函数 的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 2．设方程2x＋2x＝10的根为β，则β属于（ ） A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．下列关于二分法的叙述，正确的是（ ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只有求函数零点时才用二分法 4．函数 的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数 在 内有一个零点，且求得 的部分函数值数据如下表所示： 1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617 －6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088 要使 零点的近似值精确度为0.01，则对区间 的最少等分次数和近似解分别为（ ） A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76 6．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数 的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“友好点对”（注：点对 与 看作同一个“友好点对”）．已知函数 ，则此函数的“友好点对”有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 7．已知函数 ， ， 的零点依次为 ， ， ，则 ， ， 大小关系是________． 8．若方程 的实根在区间 内，且 、 ， ，则 ____________ 9．已知 ，若 有三个不同的实数解，则 的取值范围是___________. 10．对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，例如 ， ，定义函数 ，则下列命题中正确的是___________. ①函数 的最大值为 ； ②函