第07练 三角函数-2022年【寒假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第一册）

第07练 三角函数 1. 所在象限的确定 (1)方法一：先写出 的范围，计算后分类讨论； (2)方法二：作出从原点出发的n等分各个象限的射线，它们与坐标轴把坐标系等分成4n个区域，从x轴正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,…… 为第“几”象限角，则标号是“几”的区域就是的终边所在的区域， 的终边所在的象限就可直观地看出。 2.与角有关的集合问题 (1)解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素，其方法有：①将集合中表示角的式子化为同一种形式（这种方法要用到整数分类的有关知识，即分类讨论）；②用列举法把集合具体化；③数形结合，即在直角坐标系中分别作出这些角。 (2)用数形结合的方法，能将区间角(象限角是特殊的区间角）在直角坐标系中用图表示出来；反之，对于直角坐标系中的图形所表示的角的范围，也可以用区间角表示。 3.三角函数的定义及其应用】 (1)利用三角函数的定义解题时，方法比较灵活，若是角 的终边落到一条直线上，一般要分类讨论； (2)任意角的三角函数与锐角三角函数的关系： ①联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们是建立于相似或直角三角形的性质的基础上，“r”同为正值； ②区别：锐角三角函数是以边长的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，它也适合锐角三角函数的定义； ③实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程。 4.同角三角函数基本关系的应用 (1)同角三角函数基本关系的等价形式： ， ， EMBED Equation.KSEE3 。 (2) sin +cos ,sin -cos ，sin cos 间的关系： 。 这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视. 5.三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式可以从左证到右、从右证到左或证明左右归一.另外，还可以设法证明“左边-右边=0”或“ ”； (2)用三角函数的定义可以证明某些三角恒等式； (3)含有条件的三角恒等式的证明应注意条件的利用，常用方法有： ①直推法：从条件直推到结论； ②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明； ③换元法。 6.利用诱导公式化简或求值 (1)利用诱导公式化简或求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成 ， ， ， (或 )的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简（求值），这种方法就是“一步到位法”.也可以遵循“负化正、大化小，化到锐角再查表”的原则逐步化简（求值）； (2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题的关键在于：观察分析条件角与结论角，消除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的灵活运用； (3)若待化简式中出现“ ”或“ ”（k∈Z)，化简的基本思路是对k进行分类讨论，利用诱导公式一转化为[0，2π)之间的三角函数问题；也可以利用公式（见下）或观察角之间的关系直接化简. ； ； 。 7.三角函数相关的定义域、值域或最值问题 求三角函数值域或最值常用的方法 (1)求 ， ， 的最值或值域时，常把 看成一个整体，结合相应的函数图象来求； (2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，利用换元、配方、数形结合等方法来求二次函数在限定区间上的最值问题； (3)利用sinx(或cosx)本身的有界性求值域。 8.函数 (A>0，ω>0)的性质 (1)探究函数 (A>0，ω>0)的性质时，可以利用换元思想，将 看作一个整体，结合y=sinx，x∈R的性质求解； (2) ， 的性质的探究方法相同。 9.函数周期性的应用 (1)若函数f(x)满足f(x+T)=f(x-T）则2T是 的一个周期； (2)若f(x+T)=-f(x)，则2T是函数 的一个周期； (3)若 ，则2T是函数 的一个周期； (4)若 则2T是函数 的一个周期。 (5)若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=a与x=b都对称，则f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期； (6)若函数f(x)关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a-b|是它的一个周期； (7)若函数f(x)关于点(a，c)和直线x=b对称，则函数f(x)是周期函数，4|a-b|是它的一个周期。 10.正余弦函数单调性的应用 (1)熟记正弦、余弦函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础. (2)求形如 (ω>0)的单调区间时，只需把 看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内求得x的区间即可；求 的单调区间类似； (3)利用单调性比较大小 ①对于同名三角函数比较大小，先观察自变量是否在同一单调区间上，若不是，则利用诱导公式转化为自变量在同一单调区间上的三角