第03练 不等式-2022年【寒假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第一册）

第03练 不等式 1.比较两数（式）大小的方法 (1)作差法：作差法是比较两数(式)大小的常 用方法，其一般步骤是： 第一步：作差 第二步：变形.常采用因式分解（将“差”化成“积”)或配方(将“差”化为常数与n个平方和的形式）等恒等变形手段. 第三步：定号，最后下结论. 作差法一般将差化成非负数和的形式或因式乘积形式，即 或 以便判断差值的符号. (2)作商法：作商法也是常见的比较两数(式)大小的方法.对于a>0，b>0，则有： (3)若比较两个数或代数式(均大于零)的大小，也可化为比较两个平方的大小。 (4)在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量(如0或1等)进行比较，再由不等式的传递性得到两数的大小关系。 (5)在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中变量，以利于判断差式的符号。 2.利用不等式的性质求取值范围 (1)在使用不等式的基本性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.例如，在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的，如 。 (2)求代数式的范围 ①依据：同向不等式的两边可以对应相加，异向不等式的两边可以对应相减。 ②解法：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性不等关系的运算”，求得待求范围。 3.利用基本不等式求最值 (1)运用基本不等式求最值时，要注意：一是各项或因式为正值，二是和或积为定值，三是各项或因式能相等，即“一正、二定、三相等”.这三个条件缺一不可. (2)常用方法有： ①拆项、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中，如 ②常值代换 这种方法常用于“已知 (a，b，x，y均为正数），求 的最小值”和“已知 (a，b，x，y均为正数)，求x+y的最小值”两类题型。 4.利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。 5.利用基本不等式求参数的取值范围 当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解。 6.含参数的一元二次不等式的解法 (1)二次项中若含有参数，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式； (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式△与0的关系； (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。 7.不等式恒成立问题 (1)在R上的恒成立问题 ①不等式 的解集是全体实数（或恒成立) 当a=0时，b=0，且c>0或当a≠0时，a> 0，且△<0。 ②不等式 的解集是全体实数（或恒成立) 当a=0时，b=0，且c<0或当a≠0时，a<0，且△<0。 (2)在给定区间上的恒成立问题 ①若a>0，当α≤x≤β时，一元二次不等式 恒成立的条件是 ； ②若a<0，当α≤x≤β时，一元二次不等式 恒成立的条件是 。 一、单选题 1．若 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设函数 ，当 时，则y（ ） A．有最大值7 B．有最小值7 C．有最小值－1 D．有最大值－1 3．已知 且 ，则下列说法错误的是（ ） A． 的最小值为 B． 的最大值为 C． 的最小值为 D． 的最小值为 4．下列说法正确的序号为（ ） ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若a>b，c>d，则 ； ④若 ，c<0，则 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 5．已知 ，且 ，若 有解，则实数m的取值范围为（ ） A．（(∞，(1）∪（9，+∞） B．（(9，1） C．[(9，1] D．（(1，9） 6．若 ，则 的最小值等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．若 ， 为正实数， ，且 ， ，则 ___________. 8．当 时，代数式 的取值范围是______． 9．若 ，则下面有六个结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，正确结论的序号是_______． 10．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 ， ， ，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为________. 11．设函数 的图象与平面直角坐标系的 轴交于点 . （1）当 时，求 的值； （2）若 ，求实数 的取值范围，及 的最小值. 12．设 ， ， ， ，求 的最大值． 13．已知关于x的不等式