第06讲 函数奇偶性的应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学上学期期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第一册)

第06讲 函数奇偶性的应用 第一关 知识梳理 知识点1 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. ④奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） ⑤利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）： （1） 奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）偶函数奇函数=非奇非偶函数 记忆口诀：加减看自身 （3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数 （6） （7） 记忆口诀：乘除看正负 （注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号） 知识点2 熟记常见函数的奇偶性 （1）幂函数= 非零常数可看成偶函数 （2） 是奇函数 （3） 是奇函数 （注:与（）都是奇函数) （4） 是偶函数 （5） 是奇函数 （6）是奇函数 （7） 是奇函数 （8）是奇函数 （9）与都是偶函数 （10）是奇函数；是偶函数；是奇函数 （11）为偶函数；是奇函数。 第二关 解题策略 与函数奇偶性有关问题的解决方法 ①已知函数的奇偶性求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． ②已知函数的奇偶性求解析式（常考） 将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． ③已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解． ④应用奇偶性画图象和判断函数单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． ⑤利用函数的奇偶性求最值 （1）奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 （2）偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 第三关 典例精析 考点一 已知函数的奇偶性求函数值 利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解． 【例1】已知函数为偶函数，且当时，则____________. 【解析】由题意，函数为偶函数，故 故答案为：2 变式1：设为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为为定义在上的奇函数，所以.故选A. 变式2：【2020年高考江苏卷7】已知是奇函数，当时，，则的值是 ． 【解析】是奇函数，当时，，则． 变式3：已知（a，b为常数），且，则（ ） A．1 B． C．0 D．不能确定 【解析】∵是奇函数，∴.故选：B 【例2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（2）　　 A． B． C．1 D．2 【解析】是定义在上的奇函数，，．又当时，， ，（2），故选：． 变式1：设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝3x﹣2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（　　） A． B．1 C．﹣1 D．0 【解析】f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），即有30﹣2×0+b＝0， 即有b＝﹣1，即当x≥0时，f（x）＝3x﹣2x﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（3﹣2﹣1）＝0，故选：D． 【例3】已知为奇函数，则等于（ ） A．1 B． C． D． 【解析】∵为奇函数，∴，且， ∴.故选：C 变式1：设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．－1 【解析】∵函数f(x)＝f(x)是奇函数