1.1.3　直线的方程（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

1.3　直线的方程 数学 核心知识目标 核心素养目标 掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式. 通过确定直线位置的几何条件探索直线方程的过程,提高数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 直线方程的点斜式 [问题1] 如果直线l过一点P(x0,y0),并且其斜率为k,则斜率k确定了直线的方向,点P确定了该直线在平面直角坐标系中的位置,直线l为确定的直线,那么直线l上任意一点Q的坐标(x,y)满足一个什么样的方程?以这个方程的解x,y的值为坐标的点(x,y)是否在直线l上? 数学 数学 知识点1:直线方程的点斜式 经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l的方程为 ,该方程称为直线方程的点斜式;如果P(0,b),则l的方程为y=kx+b,其中b叫作直线l在y轴上的截距,方程 称为直线方程的斜截式. [思考1] 在平面直角坐标系中,是否任意直线l都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示?当k=0时,直线l的方程具有何种形式? 提示:不是,当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时不能使用方程y-y0=k(x-x0)表示.当k=0时,直线l的方程为y=y0. y-y0=k(x-x0) y=kx+b 数学 数学 [例1-2] (2021·湖北黄石高二月考)过定点(2,1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,这样的直线的条数是(　　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)0 数学 ②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0, 即4k2-12k+1=0,Δ2=144-16=128>0. 综上所述,符合条件的直线l有3条. 故选B. 数学 方法总结 已知直线的斜率和所过的点,可以根据点斜式直接写出其方程;当直线过一点,且该直线不与x轴垂直时,可以设其斜率为k,再根据其他条件确定斜率k的值后得出所求的直线方程. 提醒:如果不能断定直线一定与x轴不垂直,在使用直线方程的点斜式时要分情况处理,不然会漏掉斜率不存在的解. 数学 变式训练1-1:(2021·山东临沂高二月考)过点(2,-1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为(　　) (A)2x-y+5=0 (B)2x+y-5=0 (C)2x-y-5=0 (D)2x+y+5=0 解析:因为所求直线的方向向量为(1,2),所以该直线的斜率为k=2.又该直线过点(2,-1),因此所求直线方程为y-(-1)=2(x-2),即2x-y-5=0.故选C. 数学 变式训练1-2:(2021·重庆万州高二月考)过点P(3,-2)且斜率为2的直线在y轴上的截距是(　　) (A)4 (B)-4 (C)8 (D)-8 解析:由题意可知,所求直线的方程为y+2=2(x-3),即y=2x-8,因此,所求直线在y轴上的截距为-8. 故选D. 数学 探究点二　 直线方程的两点式 [问题2] 我们知道两点A(x1,y1),B(x2,y2)确定一条直线l,此时直线l上任意一点Q(x,y),那么x,y满足什么样的方程?以满足这个方程的x,y的值为坐标的点(x,y)是否在直线l上? 数学 数学 知识点2:直线方程的两点式 数学 数学 [例2-1] (2020·安徽颍上第二中学高二期中)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是(　　) (A)x-y+3=0 (B)x+y+1=0 (C)x-y-1=0 (D)x+y-3=0 数学 [例2-2] (2020·吉林长春外国语学校高二开学考试)已知过点P(3,4)的直线l. (1)求l在两个坐标轴上截距相等的方程; 数学 (2)l与x轴、y轴的正半轴相交,交点分别是A,B,求当△AOB面积最小时的直线方程. 数学 方法总结 过两点的直线方程求法 (1)利用直线方程的两点式;(2)先求斜率,再利用直线方程的点斜式. 提醒:一条直线在两坐标轴上的截距相等,有两种情况:(1)直线与两坐标轴交于不同两点;(2)直线过坐标原点.解题中不要遗漏直线过坐标原点的情况. 数学 变式训练2-1:(2020·天津高二期中)过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　) (A)x+y-5=0 (B)2x-3y=0 (C)x+y-5=0或2x-3y=0 (D)x+y+5=0或3x-2y=0 数学 探究点三　 直线方程的一般式 [问题3] 把直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式整理为Ax+By+C=0的形式,你可以看出其中的规律吗?如果把平面直角坐标系中各类直线的方程与方程Ax+By+C=0比较,你又有什么发现?以方程Ax+By+C=0的解为坐标的点是否都在一条直线上? 数学 数学 知识点3:直线方程的一般式 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)表示的是一条直