1.1.4—1.1.5（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

1.4　两条直线的平行与垂直 1.5　两条直线的交点坐标 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直. 2.能利用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 1.通过分析两直线平行或垂直与斜率的关系,提高数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.通过解方程组求两条直线的交点坐标,提高数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 两条直线的平行 [问题1] 由平面几何知识知道,对于两条不重合的直线l1,l2,只要它们的倾斜角α1,α2相等,则l1∥l2,反之,若l1∥l2,则它们的倾斜角α1,α2相等.根据直线倾斜角与斜率的关系,你能使用直线l1,l2的斜率k1,k2刻画其平行关 系吗? 数学 知识点1:两条直线的平行 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2⇔ . [思考1] 如果两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,从其法向量考虑,是否可以得出其平行的充要条件? 提示:不重合的两条直线平行的充要条件是其法向量平行,即m1=(A1,B1)与m2=(A2,B2)平行,根据平面向量知识可知,m1∥m2的充要条件是A1B2-A2B1=0.故两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2-A2B1=0. k1=k2 数学 [例1-1] (2020·四川渠县中学高二期中)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3= 0的直线方程为(　　) (A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0 (C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0 数学 [例1-2] (2020·山东济南第十一中学高二期中)已知条件p:直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行,条件q:a=-1,则p是q的(　　) (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 数学 解析:若直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行,则1×a2=1×1,故a=±1. 当a=1时,x+a2y-1=0为x+y-1=0, 此时直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行; 当a=-1时,x+a2y-1=0为x+y-1=0, 此时直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行. 故若直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行, 则a=±1,推不出a=-1. 若a=-1,则直线x+y+1=0与直线x+a2y-1=0平行. 故p是q的必要不充分条件. 故选C. 数学 方法总结 (1)若只是已知两直线平行(此时不含重合的情况),则要么两条直线的斜率均不存在,要么两条直线斜率相等. (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C′=0. (3)两直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,只要满足A1B2=A2B1,则两直线要么重合,要么平行,可据此求出参数值,再验证两直线是否重合. 数学 变式训练1-1:(2020·山西高二期中)已知A(0,0),B(1,1),直线l过点(2,0)且和直线AB平行,则直线l的方程为(　　) (A)x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)2x-y-4=0 (D)2x+y-4=0 解析:因为A(0,0),B(1,1), 所以直线AB的斜率为1. 因为直线l过点(2,0)且和直线AB平行, 所以直线l的方程为y-0=1·(x-2), 即x-y-2=0. 故选A. 数学 变式训练1-2:(2020·长春第二十九中学高二月考)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a的值为(　　) (A)2 (B)-1 (C)2或-1 (D)-2或1 解析:因为两直线平行,所以a(a-1)=2,解得a=2或a=-1.当a=2时,l1:x+y+ 3=0,l2:x+y+3=0,此时两直线重合,舍去;当a=-1时,l1:x-2y-6=0,l2:x-2y=0,此时两直线平行.故选B. 数学 探究点二　 两条直线垂直 数学 数学 [问题2-2] 不重合的两条直线l1,l2,在其斜率k1,k2均存在时,其方向向量为v1=(1,k1),v2=(1,k2).你能够从直线的方向向量与直线的位置关系入手,得出l1⊥l2的充要条件吗? 提示:显然两直线垂直的充要条件是其方向向量垂直,此时1+k1k2=0,也即k1k2=-1. 数学 知识点2:两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔ .特殊地,当l1,l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线也垂直. [思考2-1] 如