2.1.1　椭圆及其标准方程（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 数学 核心知识目标 核心素养目标 掌握椭圆的定义、标准方程. 通过从具体问题中抽象出椭圆方程的过程,提高数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 椭圆的定义 [问题1] 已知一个半径为r的圆C及其内部一定点P,现通过定点P作圆M,使得该圆与圆C内切,由于过一个已知点和已知圆内切只有两个独立的条件,无法确定圆,因此M为动圆,你能通过圆与圆的位置关系,得出动圆M的圆心M满足什么几何条件吗?你能利用平面几何中尺规作图的方法,作出部分点M,并探究点M轨迹的形状吗? 数学 提示:显然动圆的半径为|MP|,圆M与圆C的圆心距为|MC|,两圆内切,所以r-|MP|=|MC|,即|MP|+|MC|=r.由于P,C为定点,r为定值,故动圆M的圆心满足的几何条件是:到两定点P,C的距离之和为定值r. 在圆C上任取一点A,连接AC,AP,作线段AP的垂直平分线交线段AC于点M,此时|MA|=|MP|,以点M为圆心、|MP|为半径画圆,该圆经过定点P且与圆C内 切,变化圆C上点A的位置,即可得到不同的点M,动点A在圆C上连续运动一周时,所有的点M就形成了一条曲线,如图所示,这条曲线是一个“压扁”了的圆,这类形状的图形我们称之为“椭圆”. 数学 知识点1:椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于 ( |F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距. [思考1-1] 在上述椭圆定义中,如果常数等于|F1F2|,常数小于|F1F2|,那么点的轨迹是什么? 提示:如果常数等于|F1F2|,点的轨迹为线段F1F2,如果常数小于|F1F2|,不存在符合要求的点. 常数 大于 数学 [思考1-2] 从上述椭圆定义中,你能得到椭圆的一些简单几何性质吗? 提示:点F1,F2地位对等,点M在直线F1F2两侧存在位置对等的点,说明椭圆关于直线F1F2对称;点M在线段F1F2的垂直平分线两侧也是对等的,说明椭圆关于线段F1F2的垂直平分线对称;由于椭圆有两条对称轴,对称轴的交点即线段F1F2的中点,椭圆也关于这个点对称.这个点叫做椭圆的对称中心. 数学 [例1-1] (2020·天津咸水沽第一中学高二期中)已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),动圆M过点F2,且与圆F1相内切,那么点M的轨迹C为　　　　　.  解析:由题意,动圆M的半径为|MF2|,圆F1的圆心为F1(-1,0),半径r1=4,且圆M与圆F1相内切,所以|MF1|+|MF2|=r1=4,即动点M到两定点F1,F2的距离之和为定值,且大于|F1F2|,故点M的轨迹是以点F1,F2为焦点,焦距长为2的 椭圆. 答案:以点F1,F2为焦点,焦距长为2的椭圆 数学 [例1-2] (2020·福建厦门外国语学校高二期中)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹为　　　　　　.  解析:因为圆(x+2)2+y2=36的圆心为M(-2,0),半径为r=6.　 设点P(x,y),因为线段AN的垂直平分线交MA于点P,所以|PN|=|PA|,因此|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6>|MN|=4,因此点P的轨迹是以M,N为焦点,焦距长为4的椭圆. 答案:以点M,N为焦点,焦距长为4的椭圆 数学 方法总结 根据定义判断点的轨迹为椭圆应注意两点:(1)平面内的动点到两点的距离之和为定值;(2)定值大于两定点之间的距离. 数学 (A)圆 (B)线段 (C)椭圆 (D)不存在 数学 变式训练1-2:(2020·江苏宿迁高二期中)已知△ABC的周长为20,且顶点为B(0,-3),C(0,3),则顶点A的轨迹是　　　　　　.  解析:因为△ABC的周长为20,且顶点为B(0,-3),C(0,3),所以|BC|=6, |AB|+|AC|=14>6,所以点A到两个定点的距离的和为定值,故点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为6的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点). 答案:以B,C为焦点,焦距长为6的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点) 数学 探究点二　 椭圆的标准方程 [问题2-1] 解析几何使用代数方法研究曲线的几何性质,需要建立曲线的方程.在平面内以F1,F2为焦点的椭圆,若满足|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|= 2c(a>c),能够建立适当的坐标系,求出椭圆上任意一点P的坐标(x,y)所满足的方程吗? 数学 数学 数学 数学 知识点2:椭圆的标准方程 F2(c,0) 0,-c b2=a2-c2 [思考2]