2.1.1　椭圆及其标准方程（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§1　椭　圆 1.1　椭圆及其标准方程 基础巩固 知识点一:椭圆的定义 1.(2020·河北沧州高二期中)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=2,则|PF2|=(　C　) (A)16 (B)7 (C)4 (D)1 解析:在椭圆C中,a=3,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=6-|PF1|=4.故选C. 2.(2020·天津和平耀华中学高二月考)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与椭圆交于A,B两点(点A,B异于椭圆长轴端点),则△ABF2的周长为(　B　) (A)10 (B)20 (C)8 (D)16 解析:已知a2=25,a=5,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+ |BF2|=2a=10,△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+ |AF2|=4a=20.故选B. 知识点二:椭圆的标准方程 3.(2021·陕西西安高二期末)设P(x,y),若+ =8,则点P的轨迹方程为(　B　) (A)+=1 (B)+=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,2)的距离与到点F2(0,-2)的距离之和为定值8,并且8>4=|F1F2|,所以点P的轨迹是以点F1,F2为焦点,焦距长为4的椭圆,所以2a=8,a=4,因为c=2,所以b2= a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为+=1.故选B. 4.(2020·山东济南第十一中学高二期中)椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离是(　B　) (A) (B) (C)1 (D) 解析:在椭圆+=1中,a2=4,b2=3,则c==1,所以椭圆的右焦点为F(1,0),该点到直线x-y=0的距离为d==.故选B. 5.(多选题)若+=1为椭圆的方程,则m=(　AC　) (A)3 (B)6 (C)8 (D)11 解析:因为+=1为椭圆的方程,所以解得2<m<6或6<m<10,故选AC. 能力提升 6.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上的一点,且∠F1PF2=,则△F1PF2的面积是(　B　) (A) (B)1 (C)2 (D)4 解析:因为|PF1|+|PF2|=2a=4,且∠F1PF2=,所以+= 4c2=4×(4-1)=12,所以|PF1|·|PF2|==2, 所以==1.故选B. 7.(2020·莆田第二十五中学高二期中)已知椭圆+=1的上、下焦点为F1,F2,点P在椭圆上,则|PF1|·|PF2|的最大值是(　B　) (A)9 (B)16 (C)25 (D)27 解析:由题意得a=4,|PF1|+|PF2|=2a=8. 则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立.故选B. 8.(2020·河北石家庄二中高二期中)已知△ABC的顶点B(-3,0)和C(3,0),顶点A在椭圆+=1上,则的值为(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:在椭圆+=1中,a=4,b=,则c==3,所以B(-3,0), C(3,0)分别为椭圆+=1的左、右焦点. 由于△ABC的顶点A在椭圆+=1上,由椭圆的定义可得|AB|+ |AC|=2a=8,因此===.故选D. 9.(多选题)(2020·山东省实验中学高二期中)已知曲线C:mx2+ny2= 1(　AD　) (A)若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上 (B)若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上 (C)若m=n>0,则C是圆,其半径为 (D)若m=0,n>0,则C是两条直线 解析:对于A,若m>n>0,则mx2+ny2=1可化为+=1,因为m>n>0,所以<,即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确,B错误; 对于C,若m=n>0,则mx2+ny2=1可化为x2+y2=,此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故C不正确; 对于D,若m=0,n>0,则mx2+ny2=1可化为y2=,y=±,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确.故选AD. 10.(2020·珠海第二中学高二期中)椭圆+=1上一点A到左焦点F的距离为4,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为　　　　. 解析:因为椭圆+=1,所以a=5,设椭圆的右焦点为F′,则|AF′|= 10-4=6,而OB是△AFF′的中位线,所以|OB|==3. 答案:3 11.(2021·湖北武汉月考)椭圆+=1的焦点为F1,F2,点Р在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为　　　　.  解析:由椭圆+=1,可得a=3,b=,c=. 根据椭圆定义可得|PF1|+|PF