2.4 抛物线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.4.2　抛物线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 抛物线的几何性质 4,6,9 抛物线的焦点弦问题 2,3,5,13 直线与抛物线的位置关系 1,8,11,12 抛物线中的最值问题 7,10 1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　C　) (A)直线与抛物线有一个公共点 (B)直线与抛物线有两个公共点 (C)直线与抛物线有一个或两个公共点 (D)直线与抛物线可能没有公共点 解析:因为直线y=kx-k=k(x-1), 所以直线过点(1,0). 又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部. 所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点; 当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点. 故选C. 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值为(　B　) (A)4 (B)-4 (C)p2 (D)-p2 解析:kOA·kOB=·=, 根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2, 故kOA·kOB==-4. 故选B. 3.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是(　C　) (A) (B) (C)2 (D) 解析:根据题意画图,如图所示,直线m为抛物线的准线,过点A作 AA1⊥m,过点B作BB1⊥m,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,设|AF|=2|BF|=2r,则|AA1|=2|BB1|=2|A1D|=2r, 所以|AB|=3r,|AD|=r,则|BD|=2r. 所以k=tan∠BAD==2.故选C. 4.如图所示,点F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围为(　A　) (A)(4,6) (B)[4,6] (C)(2,4) (D)[2,4] 解析:由题意知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0), 则|AF|=x1+1. 由 消去y整理得x2+2x-3=0, 解得x=1(x=-3舍去), 因为点B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动, 所以1<x2<3. 所以△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3∈(4,6).故选A. 5.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是(　A　) (A)m+n=mn (B)m+n=4 (C)mn=4 (D)无法确定 解析:设抛物线焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2). 抛物线y2=4x的焦点为(1,0), 当焦点弦与抛物线的对称轴垂直时,m=2,n=2, 所以m+n=mn. 当焦点弦与抛物线的对称轴不垂直时, 设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0). 把y=k(x-1)代入y2=4x并整理 得k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 所以x1x2=1. 因为m=x1+1,n=x2+1,所以x1=m-1,x2=n-1, 代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1, 即m+n=mn. 故选A. 6.已知直线:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且满足|AF|=2|BF|,则k的值是(　C　) (A) (B) (C) (D)2 解析:抛物线C:y2=4x的准线为l:x=-1,直线y=k(x+1)(k>0)恒过定点P(-1,0),如图过点A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N. 由|AF|=2|BF|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|= |AF|,所以|OB|=|BF|,点B的横坐标为,故点B的坐标为(,), 把点B(,)代入直线y=k(x+1)(k>0),解得k=.故选C. 7.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点,O为坐标原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 　　 　　.  解析:因为y2=-8x,所以F(-2,0),准线方程为x=2, 设A(xA,yA),则-xA+2=4,所以xA=-2,代入y2=-8x,得y2=16.不妨取yA=4,即A(-2,4),设A关于准线x=2的对称点为Q(x′,y′),可得Q(6,4),故|PA|+|PO|≥|OQ|==2. 答案:2 8.点M(x,y)满足=|x+1|,设点M的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)直线l过焦点与曲线C交于两点A,B,|AB|=8,求直线l的方程. 解:(1)点M(x,y)