2.4 抛物线（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.4.2　抛物线的简单几何性质 数学 [目标导航] 课标要求 1.掌握抛物线的简单几何性质,并能应用性质解题. 2.理解直线与抛物线的位置关系. 素养达成 通过抛物线的简单几何性质和直线与抛物线的位置关系的学习应用,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 抛物线的几何性质 图形 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 对称轴 . . 范围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y≤0 x∈R 顶点 . x轴 y轴 原点 数学 1 思考:直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的充要条件吗? 答案:不是充要条件,是必要不充分条件.事实上,直线与抛物线有一个交点有两种情况,一种是直线与抛物线的对称轴平行(或重合),另一种是直线与抛物线相切. 数学 名师点津 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异如下: (1)抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形,但椭圆和双曲线是中心对称图形,抛物线不是. (2)顶点个数不同:椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,抛物线只有1个 顶点. (3)焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有1个焦点. (4)离心率取值范围不同:椭圆的离心率0<e<1,双曲线的离心率e>1,抛物线的离心率e=1. (5)椭圆是封闭式曲线,双曲线和抛物线都是非封闭式曲线,由于抛物线没有渐近线,所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 抛物线简单几何性质的应用 [例1] 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围; 解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0. 数学 (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 数学 方法技巧 抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件. 数学 数学 题型二 直线与抛物线的位置关系 [例2] 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P.(-2,1),且斜率为k,问k为何值时,直线l与抛物线y2=4x. (1)只有一个公共点; 数学 数学 (2)有两个不同的公共点; (3)没有公共点? 数学 误区警示 (1)直线与抛物线的公共点有零个、一个、两个,和直线与抛物线相离、相切、相交不是等价关系. (2)在直线方程与抛物线方程所组成的方程组消元后,要注意所得方程的二次项系数是否含有参数.若含参数,则需按二次项系数是否为零进行讨论,只有当二次项的系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数,进而说明直线与抛物线的位置关系. 数学 即时训练2-1:若在抛物线y2=2x上存在相异两点关于直线l:y=m(x-2)对 称,求m的取值范围. 数学 题型三 抛物线的焦点弦问题 [例3] (10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60°,求 |AB| 的值. 数学 一题多变:将本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“|AB|=9”,求线段AB的中点M到准线的距离. 数学 方法技巧 解决与抛物线的焦点弦有关的问题时,可直接应用焦点弦长公式求解.解题时,需依据抛物线的标准方程,确定焦点弦长公式的形式(注意四种形式的标准方程对应的抛物线的焦半径和焦点弦长公式各不同). 数学 即时训练3-1:过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(　　) 数学 数学 即时训练3-2:已知斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 数学 数学 题型四 抛物线中的最值问题 [例4] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且点M的横坐标为4,|MF|=5. (1)求抛物线C的方程; 数学 (2)过焦点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则求|AB|+|DE|的最小值. 数学 方法技巧 (1)涉及抛物线上的点与焦点或准线有关的距离最值问题,一般用定义转化为几何问题求解. (2)最值问题的一般方法是根据条件建立目标函数,转化为求函数的最值问题. ①求抛物线上一点到定直