3.2 抛物线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　抛物线的简单性质 [选题明细表] 知识点、方法 题号 抛物线的简单性质 2,3,5,6,7,9 焦点弦问题 1,4,10 直线与抛物线的位置关系 8,11,13,14 抛物线的实际应用 12 基础巩固 1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=8,那么|AB|等于(　B　) (A)9 (B)10 (C)7 (D)5 解析:由抛物线方程知p=2, 故|AB|=x1+x2+p=8+2=10.故选B. 2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为　　(　C　) (A) (B)1 (C) (D) 解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,知线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|+|BF|)-=-=.故选C. 3.已知点A(3,0),过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直且相交于点B,若|PB|=|PA|,则点P的横坐标为(　C　) (A)1 (B) (C)2 (D) 解析:由题意,可知F(1,0), 因为过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B, 所以|PB|=|PF|, 因为|PB|=|PA|, 所以|PF|=|PA|, 所以P的横坐标为2.故选C. 4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于(　B　) (A)4 (B)8 (C)8 (D)16 解析:由抛物线的定义得,|PF|=|PA|, 又由直线AF的斜率为-,可知∠PAF=60°. △PAF是等边三角形, 因此|PF|=|AF|==8.故选B. 5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(　B　) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 解析:以开口向右的抛物线为例, 设抛物线方程为y2=2px(p>0), 圆的方程为x2+y2=r2, 不妨设A(x0,2),D(-,), 点A(x0,2)在抛物线y2=2px上, 所以8=2px0. ① 点D(-,)在圆x2+y2=r2上, 所以5+(-)2=r2.② 点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上, 所以+8=r2, ③ 联立①②③解得p=4,焦点到准线的距离为p=4.故选B. 6.对抛物线x2=-3y,下列说法正确的是　　　 　.  ①此抛物线关于y轴对称; ②焦点坐标为(0,); ③此抛物线与抛物线x2=3y关于x轴对称. 解析:由抛物线方程及性质可知①③正确. 答案:①③ 7.已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m=　　　　.  解析:如图,由题意可知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2), 由=2,可得2(x2-1,y2)=(1-x1,-y1), 可得y2=-,x2=, 解得x1=2,y1=±2. ||=||, 可得|m-1|=, 解得m=. 答案: 能力提升 8.已知抛物线y=4x2,过点P(0,4)的直线与抛物线交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,则+的最小值是(　B　) (A)16 (B)2 (C)8 (D)4 解析:由题意知直线斜率存在,设直线方程为y=kx+4,与抛物线的方程联立并消去y得,4x2-kx-4=0, 则x1+x2=,x1x2=-1. 所以+=(x1+x2)2-2x1x2=k2+2. 由于k2≥0,所以+的最小值为2.故选B. 9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:如图,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BQ, 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|, 在梯形ABPQ中根据中位线定理, 得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos=a2+b2+ab, 配方得|AB|2=(a+b)2-ab, 又因为ab≤()2, 所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-()2=(a+b)2, 得到|AB|≥(a+b), 所以≤=, 即的最大值为.故选C. 10.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,作一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q,则+=　　　　.  解析:法一　抛物线y=ax2化为标准形式为x2=y. 所以焦点F(0,). 取特殊情况,如图所示, 即直线