3.2 抛物线（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　抛物线的简单性质 数学 课标要求:1.理解并掌握抛物线的简单性质以及抛物线的简单画法.2.能利用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:太阳能是最清洁的能源.太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子.太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面.太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据. 数学 想一想(1)抛物线有几个焦点? (一个) (2)抛物线的顶点与椭圆有什么不同? (椭圆有四个顶点,抛物线只有一个顶点) (3)抛物线有对称轴吗?若有对称轴,有几条? (有;1条) 数学 知识探究 1.抛物线的几何性质 数学 左 下 数学 2p 拓展提升:直线与抛物线的位置关系 设直线方程y=kx+b,抛物线方程为y2=2px(p>0),联立,消去y得k2x2+ 2(kb-p)x+b2=0. ①当k=0时,直线与抛物线对称轴平行(b=0时重合),直线与抛物线有一个交点; ②当k≠0时,若Δ>0,直线与抛物线相交,有两个不同的公共点; 若Δ=0,直线与抛物线相切,有一个公共点; 若Δ<0,直线与抛物线相离,没有公共点. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 抛物线的简单性质 [例1] 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2= 2px(p>0)上,求这个正三角形的边长. 数学 数学 误区警示 解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A,B两点关于x轴对称,解答本题要注意不能只凭主观判断而忽视了推理证明的过程. 数学 即时训练1-1:边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是(　　) 数学 数学 题型二 抛物线的焦点弦长 名师导引:解答本题可设出A,B两点坐标,并用A,B的坐标表示圆心的坐标,然后证明圆心到准线的距离为圆的半径. 数学 数学 方法总结 ⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 数学 (2)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p. (3)解决与焦点弦有关的问题,一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组,再结合根与系数的关系解题;二是注意焦点弦、焦半径公式的应用,注意整体思想的运用. 数学 即时训练2-1:已知直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则|AB|等于(　　) (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 解析:把直线y=x-1代入抛物线y2=4x, 得(x-1)2=4x, 整理,得x2-6x+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,因为AB过抛物线的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=6+2=8.故选D. 数学 (1)求该抛物线的方程; 数学 数学 题型三 直线与抛物线的位置关系 [例3] 已知抛物线y2=-4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过点M作斜率为k的直线l,与抛物线交于A,B两点,弦AB的中点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0). (1)求k的取值范围. (2)求证:x0<-3. 名师导引:写出直线l的方程,与抛物线方程联立,有两解,Δ>0可求k的范围.根据k的范围及x0与k的关系可证明x0<-3. 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 题型四 与抛物线相关的实际应用问题 [例4] 某高速隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4 m,此车能否通过此隧道?请说明理由. 数学 数学 即时训练4-1:如图所示,一位运动员在距离球篮正下方4 m远处跳起投篮,球运行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度为3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 m.建立平面直角坐标系. 数学 (1)试求球运行路线所在抛物线的方程. (2)球出手的瞬间,球距地面的高度是多少? 解:(1)由题意设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 已知抛物线过点(1.5,-0.45), 代入方程得p=2.5, 所以抛物线方程为x2=-5y. (2)球出手的瞬间即x=-2.5, 代入方程x2=-5y, 得y=-1.25, 故球距地面的高度为3.5-1.25=2.25 m. 即球出手的瞬间,球距地面的高度为2.25 m. 数学 备选例题 [例1] 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过坐标原点O. 数学 [例2] 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(