2.4 用向量讨论垂直与平行（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§4　用向量讨论垂直与平行 [选题明细表] 知识点、方法 题号 直线的方向向量与平面的法向量 1,4,8 向量方法解决平行问题 2,11,10 向量方法解决垂直问题 3,5,6,7,9,10,12 基础巩固 1.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则(　D　) (A)l⊥α (B)l∥α (C)l⫋α或l⊥α (D)l∥α或l⫋α 解析:因为n·a=3-4+1=0, 所以n⊥a,所以l∥α或l⫋α.故选D. 2.若直线l的方向向量为b,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(　D　) (A)b=(1,0,0),n=(-2,0,0) (B)b=(1,3,5),n=(1,0,1) (C)b=(0,2,1),n=(-1,0,-1) (D)b=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若l∥α,则b·n=0, 经计算,只有D中,b·n=-3+3=0,满足条件.故选D. 3.已知a=(-3,2,5),b=(1,m,3),若a⊥b,则常数m等于(　A　) (A)-6 (B)6 (C)-9 (D)9 解析:a=(-3,2,5),b=(1,m,3), 当a⊥b时,a·b=0, 即-3×1+2m+5×3=0, 解得m=-6.故选A. 4.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB (　B　) (A)与坐标平面xOy平行 (B)与坐标平面yOz平行 (C)与坐标平面xOz平行 (D)与坐标平面yOz相交 解析:利用向量与坐标平面的法向量的关系判断. 因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3), 而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0), 显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0, 所以直线AB与坐标平面yOz平行.故选B. 5.在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2, E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,且∠C1EF=90°,则点F的坐标为(　A　) (A)(2,,0) (B)(2,,0) (C)(2,,0) (D)(2,,0) 解析:设F(2,m,0),由题意知,E(2,0,1),C1(0,2,2), 则=(2,-2,-1),=(0,m,-1), 因为∠C1EF=90°, 所以·=0,即-2m+1=0,解得m=, 所以点F的坐标为(2,,0).故选A. 6.设平面α的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若α∥β,则k=　　　　.  解析:因为α∥β,所以n1∥n2, 所以存在实数λ使得n1=λn2. 所以 解得k=4. 答案:4 7.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为　　　　.  解析:=(-x,1,-z),=(-1,-1,1),=(2,0,1), ·=0,·=0. 所以x=,z=-. 答案:(,0,-) 能力提升 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=11,S5=50,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是(　A　) (A)(-1,-3) (B)(1,-3) (C)(1,1) (D)(1,-1) 解析:设等差数列的公差为d,则 解得a1=4,d=3, 所以an=3n+1,an+2=3n+7, 所以P(n,3n+1),Q(n+2,3n+7), 所以=(2,6). 显然,只有A选项(-1,-3)与共线.故选A. 9.已知直线l,m的方向向量分别是a=(1,1,0),b=(-1,t,2),若l⊥m,则实数t的值是　　 　　.  解析:因为直线l,m的方向向量分别是a=(1,1,0),b=(-1,t,2),l⊥m, 所以a·b=-1+t=0, 解得t=1. 答案:1 10.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥PB于点F.求证: (1)PA∥平面EDB; (2)PB⊥平面EFD. 证明:以D为坐标原点,射线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设DC=a. (1)连接AC交BD于点G,连接EG. 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E(0,,). 因为底面ABCD是正方形, 所以G为AC的中点, 故点G的坐标为(,,0), 所以=(a,0,-a),=(,0,-), 则=2,故PA∥EG. 而EG⊂平面EDB,PA⊄平面EDB, 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a,