2.2 空间向量的运算（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§2　空间向量的运算 [选题明细表] 知识点、方法 题号 单位向量 1 空间向量的线性运算 2,6,7,12,13 共线向量 4,8 空间向量的数量积及应用 3,5,9,10,11,12 基础巩固 1.非零向量a的单位向量的个数为(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不确定 解析:非零向量a的单位向量a0=,不要误认为其单位向量为a0=±,注意a0与a同向.故选B. 2.直三棱柱ABCA1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于(　D　) (A)a+b-c (B)a-b+c (C)-a+b+c (D)-a+b-c 解析:=++=-a+b-c,故选D. 3.已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB, AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　C　) (A)2· (B)2· (C)2· (D)2· 解析:2·=2a·acos 120°=-a2, 2·=-a2, 2·=·=a2, 2·=·=a·a·cos 120°=-a2.故选C. 4.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则(　D　) (A)x=,y= (B)x=,y=1 (C)x=1,y= (D)x=1,y= 解析:=+=+(+), 又=x+y(+), 所以x=1,y=,选D. 5.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P为平面ADD1A1的中心,Q为平面DCC1D1的中心,则,夹角的余弦值为(　D　) (A) (B)- (C) (D)- 解析:=-+=-(+)=--, =+=-=(-)-=--+, ·=-+-=-1, =++=6, =++=6, cos<,>==-.故选D. 6.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=　　　　(用a,b,c表示).  解析:=+=+=+(+)=+(-+-)= a+(b-a+c-a)=a+b+c. 答案:a+b+c 7.在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=　　 　　　;y=　　 　　.  解析:由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如图: 则有=(+), 所以=-=(+)-=-, 又因为=x+y, 所以x=,y=-. 答案:　- 能力提升 8.已知正方体ABCDA′B′C′D′,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于(　D　) (A)++ (B)++ (C)++ (D)++ 解析:如图所示, =,=+,=,=+, =,=, 所以=(+)=+(+).故选D. 9.如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则·=　　　. 解析:·=·=()2cos<,>=2cos(180°- 60°)=2cos 120°=2×(-)=-1. 答案:-1 10.如图所示,120°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 　　　.  解析:由题意得·=·=0, <,>=60°, 则=(++)2 =+++2· =36+16+64+2×6×8cos 60°=164. CD=2. 答案:2 11.如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量与夹角的余弦值. 解:设=a,=b,=c,=a+b,=a-c,a·b=a·c=b·c= 0.设正方体的棱长为m, 则||=m,||=m. 因为·=(a+b)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c=m2, 所以cos<,>==. 故向量与夹角的余弦值为. 探究创新 12.已知空间四边形OABC的棱OA,OB,BC互相垂直,OA=OB=BC=1,N是OC的中点,点M在AB上,若=x,试探究x的值,使MN⊥AB. 解:如图,由于=x,则=x. 则=(1-x)+x, ==(+), =-=+-(1-x)-x=(x-1)+(-x)+. 又=-,MN⊥AB,所以·=0, 即[(x-1)+(-x)+]·(-+)=0. 因为,,互相垂直且它们长度为1, 从而求-x+1-x=0,得x=. 13.如图,在正方体ABCDA′B′C′D′中,=a,=b,=c,O是正方体的中心,M,N,T分别是BC,C′D′,AA′的中点. 证明:++=0. 证明:取A′D′的中点M′, 则M′M∥D′C. 所以== ==(-) =(a-c). 同理===(b+c). ==-=-a-b=-(a+b). 所以++=(a-c)+(b+c)-(a+b)=0. $