第三章 §3.1-§3.1.3 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3.1.3　空间向量的数量积运算 [课标要求] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律．(重点) 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．(难点) [基础梳理] 1．空间向量的夹角 (1)定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)夹角范围：〈a，b〉∈[0，π]． (3)特别地，如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 运算律 数乘向量与向量数量积的结合律[来源:学.科.网] (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 性质 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0． (2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|． 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝＝． (3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝． (4)|a·b|≤|a|·|b| [要点探究] 知识点一　空间向量的夹角 探究1：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？ 提示　〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义，〈a，b〉与〈b，a〉相等． 探究2：若向量a，b的夹角为下列各值时，试判断a，b的位置关系？ (1)〈a，b〉＝0；(2)〈a，b〉＝π；(3)〈a，b〉＝. 提示　(1)向量a，b方向相同；(2)向量a，b方向相反；(3)向量a，b相互垂直． 知识点二　空间向量的数量积 探究1：空间向量数量积的运算满足多项式的运算法则吗？ 提示　数量积的运算满足多项式的运算法则，如常见的数量积运算(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 探究2：数量积的运算符“·”能用“×”代替或省略吗？ 提示　数量积的运算符“·”不能用“×”代替，也不能省略. 题型一　空间向量数量积的计算 　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： (1)·；(2)·. 【自主解答】　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. ●规律总结 在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．[来源:学§科§网] 1．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 A．2·　　　　　　B．2· C．2· D．2· 解析　2·＝－2·＝－2a2cos 60°＝－a2，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2,2·＝·＝－a2,2·＝·＝－·＝－a2.[来源:Z.xx.k.Com] 答案　B 题型二　利用数量积求夹角或模 　(1)如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于 A．6 B．6 C．12 D．144 (2)如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求和所成角的余弦值． 【自主解答】　(1)∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，∴||＝12. (2)由题意知＝－，∴·＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16， ∴cos〈，〉＝＝＝，[来源:Z_xx_k.Com] ∴OA与BC所成角的余弦值为. 【答案】　(1)C　(2) ●规律总结 两个非零向量夹角求法的两个途径 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值 2．已知||＝5，||＝2，〈，〉＝60°，＝2＋，＝－2，则以OC，OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为________． 解析　∵＝＋，∴2＝(＋)2＝(2＋＋－2)2＝(3－)2＝92＋2－6