2.2 空间向量的运算（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§2　空间向量的运算 数学 课标要求:1.理解共线向量定理及其意义.2.掌握空间向量的线性运算. 3.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律,会用它解决立体几何中一些简单问题. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:小明同学放学回家,先从学校大门口坐公交车向北行驶3 000 m,再向东步行1 000 m,最后乘电梯上升60 m到家. 数学 想一想 小明同学从学校大门口到家的位移与他回家过程中沿途实际发生的三个位移有怎样的关系? 数学 知识探究 1.空间向量的运算 平行四 边形法则 a+(b+c) b+a 数学 相同 相反 0 aλ λa+μa λ(μa) 数 b·a a·b+a·c (λa)·b 0 数学 拓展提升:(1)关于“向量的加法” (2)关于数乘向量 ①数乘向量λa,既可以实现向量a的模扩大(当|λ|>1时)和缩小(当0<|λ|<1时),也可以实现向量a的方向改变(当λ<0时)和不改变(当 λ>0时). ②由于向量a,b可平移到同一个平面内,所以a±b,λa,λb,λa+μb也都在这个平面内. 数学 (3)关于两个向量数量积的几点说明 ①数量积运算不满足消去律 ②数量积运算不满足结合律 数量积运算只满足交换律,分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线. 数学 2.共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ,使得 . a=λb 探究:共线向量定理中为什么规定b≠0? (①在充分性中,当b=0时,λ≠0也有a=λb=0,而0与任一向量共线,λ并不唯一;②在必要性中,当a≠0,b=0,则不存在实数λ,使得a=λb) 3.单位向量 对于任意一个 a,把 叫作向量a的单位向量,记作a0.a0与a . 非零向量 同方向 数学 题型一 课堂探究·素养提升 空间向量的线性运算 [例1] 已知ABCD为正方形,P是ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点,求下列各题中x,y的值: 数学 数学 方法技巧 空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算.在进行向量的线性运算时,应注意结合图形的特点,利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算.要特别注意把某些向量平移后转化到同一平面内进行相关计算. 数学 数学 数学 题型二 空间共线向量定理的应用 [例2] 射线AB,AC,AD不共面,连接BC,CD,DB,分别取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明. 名师导引:判断四边形EFGH的形状可用共线向量定理说明EH与FG的关 系,也可说明HG与EF的关系,均可作出四边形EFGH的形状的判断. 数学 数学 数学 数学 题型三 空间向量的数量积及应用 [例3] (1)如图(1),已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是AA1的中点,求证:EC1⊥BD; 数学 (2)如图(2),已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,DD′⊥平面α于D′,如果∠DBD′=30°,AB=2,AC=BD=1,求CD的长; 数学 数学 [例题] 如图所示,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M,N分别是边AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求MN的长. 备选例题 数学 数学 达标检测·课堂巩固 D 1.设a, b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题: ①(a·b)c-(c·a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b·a)c-(c·a)b与c垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有(　 　) (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 数学 解析:当b与c不共线时,(a·b)c≠(c·a)b,故①错; 由三角形两边之差小于第三边知②正确; [(b·a)c-(c·a)b]·c不一定为零,故③错,④正确. 故选D. 数学 A 数学 答案:② 数学 答案:3 数学 课堂小结 1.向量可以平移,任意两个向量都是共面向量,因此空间两个向量的加减及数乘运算和平面向量完全相同,可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行. 2.在共线向量定理中,要注意b≠0的条件,如a≠b,b=0,则a∥b,但λ不 存在. 3.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角;利用数量积求两异面直线所成的角,关键在于在异面直线上构造向量,找出两向量的关