2.1 从平面向量到空间向量（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

第二章　空间向量与立体几何 §1　从平面向量到空间向量 数学 课标要求:1.了解向量由平面到空间的过程.2.理解空间向量的概念.3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念. 数学 新知导学 课堂探究 达标检测 数学 新知导学·素养养成 [情境导学] 实例:①如图所示,已知平面向量a,b. ②如图所示,已知向量a与直线l上两点A,B. 数学 想一想1:(1)平面向量是怎样定义的? (在平面内,我们把具有大小和方向的量叫作平面向量) (2)平面向量如何表示? (3)平面向量的长度叫作什么?如何表示? (平面向量的长度叫作向量的模,如实例图中向量a,b的模可表示为|a|,|b|) 数学 想一想2:平面向量的夹角是怎样定义的?如何表示?它的范围是怎样的? 想一想 (2)直线l的方向向量是怎样定义的? (把与直线l共线的非零向量叫作直线l的方向向量). 数学 知识探究 1.空间向量的概念及表示 (1)向量的概念 向量是既有 又有 的量.如果我们把问题的研究范围限定在同一个平面上,称之为 ;如果问题的研究范围扩大到空间中,称之为 . (2)空间向量的表示方法 大小 方向 平面向量 空间向量 起点 终点 数学 (3)自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为 . (4)向量的长度或模 自由向量 长度 模 (5)向量的夹角 夹角 <a,b> a⊥b a∥b 数学 探究1:能否说空间中的任何两个向量都是共面的? 方向向量 (能.因为任何两个空间向量都可以“平移”到同一平面内,也就是说,它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示,故可看作是共面的) 平行 (2)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定 过点A且平行于向量a的直线. 唯一一条 数学 (2)给定空间中任意一点A和非零向量a,可以确定 过点A且垂直于向量a的平面. 探究2:一个向量成为直线的方向向量的条件是什么?成为平面的法向 量呢? 唯一一个 (一个向量成为直线的方向向量包含两个条件:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合.同样,向量为平面的法向量也包含两个条件:一是该向量为非零向量;二是该向量与平面垂直) 3.向量与平面 (1)如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量a叫作平面α的 .所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量.因此,平面的法向量 ,但它们都是 的,平面的法向量 于该平面. 法向量 不唯一 平行 垂直 数学 题型一 课堂探究·素养提升 空间向量的有关概念 名师导引:根据正六棱柱的结构特征,分析各线段的相互关系,从而得到向量之间的关系. [例1] 如图所示,在正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′中, (3)11个. 数学 方法技巧 以几何体为载体给出向量时,要注意结合几何体的结构特征来分析向量之间的关系. 数学 题型二 直线的方向向量与平面的法向量 [例2] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)分别给出直线AA1,BD的一个方向向量; (2)分别给出平面ADD1A1,平面BB1D1D的一个法向量. 数学 方法技巧 直线的方向向量有无数个,它们互相平行;平面的法向量也有无数个,它们也互相平行且都垂直于平面.因而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时可利用线面平行或线面垂直等相关知识,在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可. 数学 题型三 求向量的夹角 名师导引:按空间向量夹角的定义求解,空间向量a,b夹角范围是[0,π]. [例3] 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求: 数学 数学 方法技巧 数学 变式探究:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,求: 数学 数学 本节涉及的求向量夹角问题,都是把向量移到同一平面内,也就是把夹角表示出来,然后利用结论“共线或平行,夹角为0°或180°;垂直,夹角为90°”解决. 思维总结 数学 答案:0°　0°　90° 数学 [例1] 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形且PD=AD=CD,E,F分别是PC,PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量; 备选例题 数学 (2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量. 数学 [例2] 如图所示在正方体ABCD-A′B′C′D′中,求: 名师导引:将两向量平行移动到同一平面内再结合向量的方向求解. 数学 数学 思维总结 求两个向量的夹角和求两条异面直线所成