第14练：锐角三角函数-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第14练：锐角三角函数 知识点1：锐角三角函数定义 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。 知识点2：特殊角的三角函数值 角度 30° 45° 60° 正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2 余弦(cos) √3/2 √2/2 1/2 正切(tan) √3/3 1 √3 （注 θ是锐角：0<sinθ<1 0<cosθ<1 tanθ>0） 知识点3：锐角三角函数值的符号及其变化规律 （1）锐角三角函数值都是正值。 （2）当角度在0°——90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 知识点4：同角三角函数基本关系式 5互为余角的三角函数间的关系 知识点5：解直角三角形的基础知识 在Rt 中， ， ， ， 所对的边分别为 ， ， （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： + = = （3）边角之间的关系： ； ； ； ； ； （4）面积公式： （ 为斜边上的高） 知识点6：解直角三角形的基本类型及其解法如下表： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a、b c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A 一直角边a，斜边c b= ，sinA=，∠B=90°-∠A 一边一锐角 一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A，b= ，c= 斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A， a=c·sinA， b=c·cosA 解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。 知识点7：解直角三角形应用题中的常见概念 （1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅直高度 和水平宽度 的比，用字母 表示，则 （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。 目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． （3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角。 目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． （4）俯角与仰角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 1．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案． 【详解】 ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵⊙O的半径是13， ∴AB＝2×13＝26， 由勾股定理得：AD＝10， ∴sin∠B＝ ∵∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sin∠B＝ ， 故选D． 【点评】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大． 2．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为(　　) A．mcosα B． C．msinα D． 【答案】B 【解析】根据余弦三角函数的定义,直接利用锐角三角函数关系得出cosα= ,进而得出答案． 【详解】 解:由题意可得:cosα= , 则AB= ． 故选B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（　　） A．（ ， ）或（﹣ ，﹣ ） B．（ ， ）或（﹣ ，﹣ ） C．（﹣ ，﹣ ）或（ ， ） D．（﹣ ，﹣ ）或（ ，