第09练：正多边形和圆-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第09练：正多边形和圆 考点一：正多边形和圆 1.正多边形的定义。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形和圆的关系。只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 考点二：与正多边形有关的概念 1.正多边形的中心。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2.正多边形的半径。正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3.正多边形的边心距。正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4.中心角。正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点三：正多边形的对称性 1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 1．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（　　） A．12° B．16° C．20° D．24° 【答案】A 【解析】根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可. 【详解】 解: 如图 设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处. AB=OA=OB, ∠OAB= ,同理∠OAE'= , ∠EAB= , ∠EAO=∠EAB-∠OAB= , ∠EAE'=∠OAE'-∠EAO= - = 点E旋转的角度和点C旋转的角度相等, 点C旋转的角度为 , 故选A. 【点评】本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合. 2．下列属于正多边形的特征的有（ ） （1）各边相等 （2）各个内角相等 （3）各个外角相等 （4）各条对角线都相等 （5）从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的（n-2）个三角形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】 ①各边相等是正确的； ②各个内角相等是正确的； ③各个外角相等是正确的； ④各条对角线不一定相等，原来的说法是错误的； ⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积不一定相等的(n−2)个三角形，原来的说法是错误的. 故选B. 3．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果． 【详解】 解：6个月牙形的面积之和 ， 故选A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 4．如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】连接AC、 BD,先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD= ,再根据90度的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径,由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD= ,然后根据勾股定理得出 , ,从而求出结果. 【详解】 解: 如图，连接AC,BD. ABCD是正方形, ∠ADC=∠BCD= , AC与BD是直径, ∠APC=∠BPD= , , , 又 正方形ABCD的边长为1, AC=BD= , . 所以B选项是正确的. 【点评】本题主要考查了正多边形与圆,勾股定理,圆周角定理,综合性较强,难度中等.根据圆周角定理得∠APC=∠BPD= 是解题的关键. 5．在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是 （） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据弧长公式可知弧长． l=. 故选B． 考点: 弧长的计算． 6．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为 的八等分点， 与 的交点为I．若 的半径为 ，则 的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接 、 ，作 于 ， 于 ，在 上截取一点 ，使得 ，连接 ．首先证明 ，推出 ，在 中， ，求出 即可解决问题； 【详解】 解：如图，连接 、 ，作 于 ， 于 ，在 上截取一点 ，使得 ，连接 ． 点 ， ， ， ， ， ， ， 为 的八等分点， ， ， ， ， 四边形 是矩形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 四边形 是正方形，设 ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ，（负根舍去） ． 故选：B． 【点