第07练：圆及其性质-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第07练：圆及其性质 考点一：圆的相关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二：与圆有关的几个概念的定义 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD）。直径等于半径的2倍。 3.弧、优弧、劣弧： （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 （2）弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 （3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 考点三：垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2.推论： 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 考点四：圆的对称性 1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六：圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七：圆内接多边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 1．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝35°，则∠OBA的度数是（　　） A．35 B．30° C．25° D．20° 【答案】D 【解析】根据垂径定理，可得 ，∠OEB＝90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案． 【详解】 解：连接AO，如图： 由OC⊥AB，得 ，∠OEB＝90°． ∴∠2＝∠3． ∵∠2＝2∠1＝2×35°＝70°． ∴∠3＝70°， 在Rt△OBE中，∠OEB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣70°＝20°， 故选D． 【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出 ，∠OEB＝90°是解题关键，又利用了圆周角定理． 2．如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由M（0，-4），N（0，-10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标． 【详解】 解：∵M（0，-4），N（0，-10）， ∴MN=6， 连接PM，过点P作PE⊥MN于E， ∴ME=NE= MN=3， ∴OE=OM+EM=4+3=7， 在Rt△PEM，PE= =4， ∴圆心P的坐标为（4，-7）． 故选C． 【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 3．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【解析】如图，连接BD， ∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°. ∵点D是AC的中点，∴∠ABD=∠CBD． ∵∠ABC=50°，∴∠ABD=25°. ∴∠DAB=90°－25°=65°,故选C. 4．下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直弦 C．优弧一定大于劣弧 D．等弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】 A、直径