第04练：二次函数与一元二次方程-2022年【寒假分层作业】九年级数学（人教版）（全国通用）

第04练：二次函数与一元二次方程 1.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根； (2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置 一元二次方程ax2+bx+c=0的解 b2-4ac>0 两个公共点 两个不相等的实数根 b2-4ac=0 一个公共点 两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 2.用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. ②顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 ③交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： 。 3.直线与抛物线的交点 ① 轴与抛物线 的交点为(0, )。 ②抛物线与 轴的交点。 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： a有两个交点 ( ) 抛物线与 轴相交； b有一个交点（顶点在 轴上） ( ) 抛物线与 轴相切； c没有交点 ( ) 抛物线与 轴相离。 ③平行于 轴的直线与抛物线的交点同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根。 ④一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定： a方程组有两组不同的解时 EMBED Equation.3 与 有两个交点； b方程组只有一组解时 EMBED Equation.3 与 只有一个交点； c方程组无解时 EMBED Equation.3 与 没有交点。 ⑤抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，则 1．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0 【答案】C 【解析】根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】 解：∵抛物线 和 轴有交点， , 解得： 且 ． 故选 ． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当 时，抛物线与x轴有交点是解题的关键． 2．抛物线 的图像和 轴有交点，则 的取值范围是（ ） A． B． 且 C． D． 且 【答案】B 【解析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程 中， ≥0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知k≠0． 【详解】 ∵该函数是二次函数，所以k≠0， 又函数图象与x轴有交点， ∴ ≥0， 解得k≥ ， ∴k≥ 且k≠0， 故选B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式． 3．已知二次函数 ( )图象的对称轴是直线 ，与 轴一个交点 ，则与 轴的另一个交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】找出点A关于x＝1的对称点的坐标即可． 【详解】 ∵点A的坐标为（3，0）， ∴点A关于x＝1的对称点的坐标为（−1，0）． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐标是解题的关键． 4．二次函数 的图象如图所示，若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的最大值为（ ） A．-7 B．7 C．-10 D．10 【答案】B 【解析】把一元二次方程根的个数问题，转化为二次函数 的图象与直线y=-m的图象的交点问题，然后结合图形即可解答． 【详解】 解：将 变形可得： ∵关于 的一元二次方程 有实数根， ∴二次函数 的图象与直线y=-m的图象有交点 如下图所示，易得当-m≥-7，二次函数 的图象与直线y=-m的图象有交点 解得：m≤7 故 的最大值为7 故选B． 【点评】此题考查的是二次函数和一元二次方程的关系，掌握将一元二次方程根的情况转化为二次函数图象与直线图象之间的交点问题和数形结合的数学思想是解决此题的关键． 5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣ x的图象如图所示，则方程ax2+（b+ ）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定 【答案】C 【解析】设 的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知 ， ；设方程 的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解