1.1 命 题（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§1　命　题 [选题明细表] 知识点、方法 题号 命题及其真假判断 1,2,5,6,8 四种命题及其关系 3,4,5,7,8,9,10 等价命题的应用 8,9,10,11 基础巩固 1.下列语句不是命题的是(　C　) (A)5>8 (B)若a是正数,则是无理数 (C)x∈{-1,0,1,2} (D)正弦函数是奇函数 解析:x∈{-1,0,1,2}不是命题,因为不能判断真假.故选C. 2.下列命题正确的是(　D　) (A)若a>b,则ac2>bc2 (B)若a>-b,则-a>b (C)若ac>bc,则a>b (D)若a>b,则a-c>b-c 解析:当c=0时选项A不正确;a>-b时-a<b,选项B不正确;当c<0时,选项C不正确;由不等式的性质知选项D正确.故选D. 3.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(　D　) (A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 (B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 (C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 (D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 解析:由原命题和逆否命题的关系可知D正确. 4.①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题; ③“若x≤-3,则x2+x-6≥0”的否命题. 其中真命题个数为(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;③的否命题为“若x>-3,则x2+x-6<0”是假命题.故选B. 5.有下列四个命题: ①“若b=3,则b2=9”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若c≤1,则x2+2x+c=0有实根”; ④“若A∪B=A,则A⊆B”的逆否命题. 其中真命题的个数是(　A　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:①“若b=3,则b2=9”的逆命题:“若b2=9,则b=3”,假;②“全等三角形的面积相等”的否命题:“不全等的三角形,面积不相等”,假;③若c≤1,方程x2+2x+c=0中,Δ=4-4c≥0,故方程有实根,真;④“若A∪B=A,则A⊆B”为假,故其逆否命题为假.故选A. 6.命题“若∠C=90°,则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为　　　　.  解析:该命题的否命题为“若∠C≠90°,则△ABC不是直角三角形”.因为∠A,∠B可能等于90°,所以该命题的否命题为假命题. 答案:假 7.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆命题是:　　　　 　　　　.  解析:命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆命题是:若-1<x<1,则x2<1. 答案:若-1<x<1,则x2<1 能力提升 8.原命题为“若<an,n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　A　) (A)真,真,真 (B)假,假,真 (C)真,真,假 (D)假,假,假 解析:从原命题的真假入手,由于<an⇔an+1<an⇔{an}为递减数列, 即原命题和逆命题均为真命题, 又原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题. 故选A. 9.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是　　　　.  解析:由已知得,若1<x<2成立,则m-1<x<m+1也成立, 所以所以1≤m≤2. 答案:{m|1≤m≤2} 10.若a,b,c∈R,写出命题“若ac<0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假. 解:逆命题“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不相等的实数根,则ac<0”是假命题, 方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,b2-4ac>0,ac<即可,不一定要小于0,所以逆命题为假命题. 否命题“若ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根”是假命题,这是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题. 逆否命题“若ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)没有两个不相等的实数根,则 ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题,它与原命题等价. 探究创新 11.证明:如果p2+q2=2,则p+q≤2. 证明:该命题的逆否命题为: 若p+q>2则p2+q2≠2. 若p+q>2, 则p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]>2. 即如果p2+q2=2, 则p+q≤2的逆否命题成立. 所以如果p2+q2=2,则p+q≤2. $